[escepticos] Funcion Zeta

[Miguel V E L I L L A <mvelilla@...>]

[Santiago]  
 Y las otras constantes tambien pueden ser definidas como
  diferencias entre sucesiones; en particular, 

  Pi        1   1   1   1   1                            
  -- =  1 - - + - - - + - - -- +
...                                        
  4         3   5   7   9   11                         

[Mig]
Tienes razon, habia olvidado esta, y ahora que me viene a la cabeza, hay
varias series divergentes pero cuya diferencia resulta en un numero
finito.

[Arteaga]

  Y tambien se podria mencionar la constante de Catalan, 

  1   1   1    1    1     1            
  - - - + -- - -- + -- - --- +... = 0.915966                   
  1   9   25   49   81   121                

[Mig]
Epa!, otra constante pequenha (:-)

[Arteaga]
  A titulo anecdotico, un amigo mio hizo una tesina en teoria de
  numeros sobre la funcion Zeta de Riemann. Llego a la conclusion de que 
  aparecia en todas partes y servia para todo. Fue un resultado dificil
de
  formular rigurosamente, pero la evidencia estadistica que acumulo era 
  concluyente.

          En fin, me ha salido un mensaje muy tonto: no respondo a
ninguna de
  tus preguntas de la forma que tu querias... lo siento. Un abrazo,

          Santi
         
[Mig]
Casualmente, en uno de estos accesos de locura, me meti a tratar la
funcion Zeta de Rieman con programacion genetica, visto que no existe
una formula de zeta para n impar. Como los valores numericos son muy
faciles de calcular, puede obtenerse facilmente un fitness por el cual
ajustar una probable funcion.
La idea que me rondaba en la cabeza era que la formula para la funcion
Zeta es igual para todos los n, sean pares o impares, pero por causa de
que los numeros de Bernoulli son = cero cuando n es impar, sospeche que
los numeros de Bernoulli estaban metidos dentro de la formula final mas
o menos como C1*B(n) + C2*B(n-1) , donde C1 y C2 son los otros elementos
de la formula. 
Siendo asi, cuando n es par, la parte C2*B(n-1) = CERO y resulta en la
conocida formula de Euler.
Para la tarea me arme del Lil-GP, un buen software de programacion
genetica, y luego de hacer algunas adaptaciones en el mismo, obtuve
algunos resultados que a tu amigo le podrian interesar.
El primero es que existe una funcion simple extremamente bien parecida a
Zeta para todos los valores de n, que no tiene nada que ver con la
formula de Euler pero que se ajusta casi que perfectamente, y esta dada
por:


Zeta = 5.338925521 ^ ( 0.475771838 ^ n ))

En realidad 0.47577... = Sin(sqr(7)), pero no tiene nada que ver, apenas
que lil-gp encontro la constante de esta manera.
Para ver el grado de aproximacion, te muestro algunos valores reales y
aproximados de zeta(n)

n    real           aproximado

3    1.2020..        1.1976...
15   1.00003058...   1.00002426

despues, cambiando una serie de parametros del lil-gp, y haciendo sufrir
varias horas a una estacion SUN, consegui esta belleza aproximada, pero
donde vi que mi palpito inicial podia estar correcto:

        2^(n-1) * pi^n * (Bn + Sqr(Bn-1 * Bn+1 * n / (n-1) )
zeta=   ----------------------------------------------------
                          n!


donde Bn y Bn-1 son los numeros de Bernoulli para n y n-1 o n+1.
Cuando n es par, Bn-1 y Bn+1 son cero y la formula queda exactamente
como la de Euler, pero cuando 
n es IMPAR, quien se cancela es el termino Bn, y quedan los otros.

Para concluir, cuando la cosa se ponia interesante, ZAS!, perdi todo mi
disco duro con los programas y la documentacion, solo quedaron
fragmentos (como en la biblioteca de Alexandria) y de estos fragmentos
estoy copiando aqui lo que ha sobrado.

Mig

                         
                                
                                          
                                                




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