[escepticos] SOLUCIÓN A LA "PARADOJA" DE SIRVENT

["ANGEL RIEGO CUE" <angelriego@...>]

Queridos colisteros: Me presento ante vosotros, ya que nunca había 
escrito en la lista, aunque llevo tiempo siguiéndola. Por no tener 
experiencia en mandar mensajes, este es ya el tercer intento de enviar 
mi resolución a la "paradoja" de César Sirvent, que mandé por primera 
vez (con copia para él) el 12/02/99 a la 1:12 h. (Y me mencionó en el 
mensaje donde daba su "solución")Ahora puede que el asunto ya haya 
perdido su actualidad, pero os la mando de todas formas para que podáis 
juzgar si es más correcta que su "solución" (por llamarla de alguna 
manera), a la que dedicaré mi siguiente mensaje.

ANGEL





Estimado Sr. Sirvent:

Aunque en un principio no había prestado atención a su "paradoja", he 
decidido participar en un intento de resolución, atraído por la magnitud 
del premio últimamente ofrecido. Con ello aprovecho también para 
presentarme a los demás colisteros pues, aunque recibía la lista, nunca 
había escrito en ella.

En realidad, no estoy seguro de haber entendido correctamente el 
planteamiento, pues la tal paradoja no la veo por ninguna parte, sino un 
vulgar ejercicio de Física o Matemáticas a nivel de COU, o similar.

Para estar seguro de que le he entendido, y para que otros colisteros 
con menos formación matemática puedan entender de qué va el problema, me 
permito en primer lugar reexponer su planteamiento, explicando antes los 
conceptos físicos de potencial y gradiente.

1.-NOCIONES ELEMENTALES DE FÍSICA

En Física se llama campo potencial a un campo escalar cuyo gradiente nos 
da el campo (vectorial) de fuerzas que actúan sobre una partícula. Vamos 
a explicar esto con más detalle.

El ejemplo más conocido de campo potencial es el de la energía potencial 
gravitatoria, que simplificando (tomando una porción tan pequeña de la 
Tierra que pueda considerarse plana) se expresa con la fórmula: Ep = mgh
Es decir, un campo escalar cuyo único parámetro es el número h ("m" es 
constante, y "g" -la aceleración de la gravedad- también, si 
consideramos alturas pequeñas), que representa la altura desde donde 
pongamos el origen. Así, todos los puntos de un plano paralelo al suelo, 
situado a altura "h", tienen el mismo potencial, que es = mgh.

Pues bien, el gradiente de un potencial es (simplificaremos la 
definición para el caso de 1 sola dimensión) un vector cuyo módulo es la 
derivada del potencial respecto de la dimensión con la que varía, cuya 
dirección es aquella en la que el potencial varíe más deprisa (en este 
caso, perpendicular a las superficies formadas por puntos con el mismo 
potencial), y de sentido desde donde hay más a donde hay menos 
potencial. 

Si esta definición parece complicada, es fácil ver su aplicación al 
potencial gravitatorio, cuyo gradiente nos da la conocida fuerza de la 
gravedad. Así, derivando resp. la única dimensión con la que varía el 
potencial (h)
   d(mgh)/dh = mg, módulo de la fuerza de gravedad (masa * aceleración 
grav.)
   dirección: perpendicular a los planos paralelos al suelo -> vertical
   sentido: de más h a menos -> hacia abajo
Con lo que obtenemos el conocido resultado de que la fuerza de la 
gravedad es de valor m*g (g=9.8 m/s^2), y se ejerce verticalmente y 
hacia abajo.


2.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En el caso presentado por el Sr. Sirvent, tenemos un potencial que no 
varía gradualmente con la distancia, sino que en el eje X=0 pasa 
bruscamente de 0 a un valor a>0, y a partir de ahí se mantiene 
constante. Es decir, al hallar el gradiente de ese potencial para 
conocer la fuerza que se ejercerá sobre una partícula, hallamos que es = 
0 en todos los puntos del plano que no sean el eje Y.

Pero en el eje Y, al dar el potencial un salto brusco (la gráfica que lo 
representaría tiene un tramo vertical), su derivada es infinita, luego 
la fuerza ejercida sobre una partícula que esté en un punto del eje Y es 
infinita.   

La dirección es horizontal, aplicando ahora lo "la dirección en la que 
varía más deprisa", pues desde cualquier punto encontraremos antes una 
variación de potencial (=cortaremos al eje Y) si nos movemos en 
horizontal, que si nos movemos según una recta oblicua. Y el sentido es 
de más a menos potencial, es decir, apuntando a la zona negativa del eje 
X.

Así pues, una partícula que avance a velocidad Vi desde la zona negativa 
del eje X, al cruzar el eje Y sufrirá una fuerza en contra de valor 
infinito. ¿Le producirá, pues, una aceleración infinita hacia atrás? Eso 
no está claro, pues la fuerza actúa durante un instante infinitesimal, y 
hay que plantear la ecuación: 

           Impulso mecánico = Variación de la cantidad de movimiento

o con magnitudes:   

           fuerza * tiempo = variación de (masa * velocidad) =
                           = masa * variación de velocidad

(pues suponemos la masa también constante, sin considerar efectos 
relativistas)

Para saber la velocidad mínima "teórica" que hace falta para superar el 
potencial, el planteamiento se hace aplicando la ecuación de 
conservación de la energía, energía cinética antes = máximo de energía 
potencial alcanzado
Es lo mismo que cuando se calcula la altura a la que llegará un objeto 
lanzado hacia arriba con velocidad v, para lo que igualamos:  

1/2 * m * v^2 = mgh     , y despejamos h.

En este caso, como se ha dicho, el potencial es cte. y no depende de 
ninguna h ni x:

1/2 * m * v^2 = a        ->    v = sqr( 2a / m )

(consideramos sólo la solución positiva, y no v=-sqr(...), pues hemos 
supuesto que la trayectoria es en dirección hacia la parte positiva del 
eje X) 

Por encima de esta velocidad "pasa", por debajo "no pasa", pero... ¿es 
correcto este cálculo, que se hace normalmente para campos continuos y 
fuerzas finitas, en este caso de campo discontinuo y fuerza infinita?

Más que una paradoja, lo que tenemos es un dilema (la solución, en el 
apartado siguiente).


3.- SOLUCIÓN TOMANDO LÍMITES

NOTA: De momento consideramos sólo el caso de movimiento horizontal. En 
el apartado 4, extendemos el resultado para trayectoria oblicua.

La solución al dilema se basa en el concepto de límite: sustituimos el 
cambio brusco del potencial (tramo vertical), por un cambio gradual 
aunque en muy corto espacio (tramo en "rampa" con mucha inclinación, 
pero no vertical), y a partir de aquí observamos lo que va ocurriendo al 
ir estrechando la base de la "rampa" hasta reducirla a 0 (quedando 
vertical).

La "rampa" es una recta que pasa por los puntos:

Para x=0       , y = 0
Para x=Delta_X , y = a (valor máximo del potencial)

(NOTA: Llamamos "Delta_" a "Incremento de..." una variable. Así, 
Delta_X="Incremento de X", Delta_t="Incremento de t")

A partir de ahí, la gráfica sigue horizontal (este Delta_X será el que 
estrechemos hasta que quede en un diferencial dx de amplitud 0)

Luego su ecuación es: y = ( a / Delta_X ) * x
En este caso, el potencial varía con x; su gradiente es la fuerza 
ejercida sobre una partícula que pase entre x=0 y x=Delta_X, y vale

Fuerza = a/Delta_X     (constante en el intervalo)

El Impulso Mecánico será el producto de la fuerza por el tiempo durante 
el que actúa:

Impulso = Fuerza * Delta_t = 
        = (a / Delta_X) * Delta_t = a/ (Delta_X/Delta_t)


En este caso tenemos un impulso finito aplicado sobre una partícula en 
movimiento, con lo que ya es un problema de física "normal". Pueden 
producirse 2 casos: o bien la cantidad de movimiento es mayor que el 
impulso aplicado, con lo que la partícula seguirá moviéndose (aunque a 
menos velocidad), o el impulso es mayor, con lo que la partícula frenará 
durante el intervalo Delta_X y, ya que la fuerza continúa actuando sobre 
dicha partícula mientras no salga del intervalo, esta saldrá despedida 
en sentido contrario con la misma velocidad que llevaba al entrar, pero 
en sentido contrario (cambiada de signo). Esto puede verse por mera 
simetría, luego prescindimos de su demostración (es la misma razón por 
la que una piedra cae al suelo con la misma velocidad, hacia abajo, con 
que la habíamos lanzado hacia arriba, despreciando, claro está, la 
resistencia del aire).

Si la partícula consigue "pasar" el intervalo, observemos que 
Delta_X/Delta_t es la VELOCIDAD MEDIA de la partícula en toda la "base 
de la rampa" y, dado que varía linealmente (Fuerza=cte., 
aceleración=cte.) podemos ver que será la semisuma de las vel. inicial y 
final:

       Delta_X/Delta_t = Vm = (Vi + Vf)/2


En el caso más general (la velocidad no se anula al final):

       Impulso = a/ (Delta_X/Delta_t) = 
               = a / Vm = a /  (  (Vi+Vf)/2 ) =
               = 2a/(Vi+Vf)

(Este Impulso en realidad debería llevar el signo -, porque se ejerce en 
el sentido negativo del eje X).

Y la Velocidad final es inmediato sacarla de la inicial, pues es = la 
inicial - aceleración * tiempo (mov. uniformemente acelerado, y ponemos 
el signo - por lo dicho antes del Impulso)

       Vf = Vi - ac. * t

  con ac. = F/m = (a/Delta_x) / m  = a / (m*Delta_X)

       Vf - Vi = - (a/m) * 1/ (Delta_X/Delta_t)

       Vf - Vi = - (a/m) * 1/ Vm = - (a/m) * 1/ ( (Vi+Vf)/2 )

       Vf^2 - Vi^2 = - 2a/m

       Vf = sqr( Vi^2 - 2a/m )

Obsérvese que en el caso particular de Vf=0, tenemos la Velocidad 
inicial deducida antes:   Vi=sqr(2a/m)



OBSERVACIÓN IMPORTANTE: El impulso que se da a una partícula con 
velocidad suficiente para que consiga pasar depende sólo de la masa "m", 
de la cte. potencial "a" y de la velocidad inicial "Vi" (también de Vf, 
pero esta puede calcularse a partir de las 3 anteriores). Luego...

            ¡¡¡ NO DEPENDE DE LA AMPLITUD Delta_X !!!

Luego, a medida que vamos estrechando el intervalo, valdrá siempre lo 
mismo, sin depender de la amplitud de Delta_X; y el límite de una 
sucesión constante es esa misma constante, luego para el caso de 
Delta_X=0 es aplicable también.


Nos queda por considerar el caso en que la partícula es "rechazada" por 
el impulso, por no tener suficiente velocidad. En este caso, supongamos 
que entra con veloc. V1, que recorre un tramo Delta_X_1, y a partir de 
ahí da la vuelta. La mitad del tiempo en el intervalo la ha empleado en 
el viaje de "ida", y la otra mitad en el de "vuelta"; es decir, en 
Delta_t/2 ha recorrido Delta_X_1 con una veloc. media V1/2 (media entre 
V1 y 0, igual que antes).

Luego:   Delta_X_1 = V1/2 * Delta_t/2 = (V1*Delta_t)/4

o lo que es lo mismo:   Delta_X1/Delta_t = V1/4

Es fácil ver el caso particular: para V1=Vo (la velocidad "mínima para 
pasar", que dijimos antes), entonces Delta_X_1 = Delta_X (consigue 
recorrerlo todo antes de dar media vuelta, y suponemos que la da: con un 
mínimo más de velocidad habría pasado):

         Delta_X/Delta_t = Vo/4

Dividiendo ambas igualdades:

         Delta_X_1 / Delta_X = V1 / Vo     
         
         Delta_X = Delta_X_1 * (Vo/V1)


Dividiendo en esta última todo entre Delta_t:

         Delta_X/Delta_t = Delta_X1/Delta_t * (Vo/V1) = 
                         = (V1/4) * (Vo/V1)=Vo/4

         Impulso = a / (Vo/4) = 4a/Vo   , siendo Vo la famosa "Veloc. 
mínima"


¡¡¡ TAMPOCO DEPENDE DE Delta_X (Ni de Delta_X_1) !!!



Por tanto, CONCLUSIONES:

1) Si una partícula de masa m lleva al entrar en la zona de potencial a 
una velocidad Vi > Vo = sqr(2a/m), pasará al otro lado, y habrá sufrido 
un impulso mecánico en contra = -2a/(Vi+Vf)
La veloc. final será: Vf = sqr( Vi^2 - Vo^2 ), siendo Vo el "mínimo" 
dicho antes

2) Si la partícula lleva una velocidad igual o menor que esa cantidad, 
será rechazada, saliendo con la misma velocidad que entró, pero en 
sentido contrario; por tanto su Vf=-Vi, y el impulso = -2 veces la m*Vi.
También puede calcularse el impulso como = -4a/Vo



4.- APLICACIÓN AL CASO DE MOVIMIENTO OBLICUO

Si la partícula tiene un movimiento oblicuo (no horizontal), se 
descompone su velocidad (y, por tanto, su cantidad de movimiento) en 
componentes horizontal y vertical; para la horizontal, vale todo lo 
antes dicho; la vertical, no varía, pues no se ejerce ninguna fuerza en 
dirección vertical.

Una vez aplicado lo dicho en 3- a la componente horizontal, y 
conservando igual la vertical, volvemos a sumar vectorialmente ambas 
componentes, y lo que obtenemos es la nueva trayectoria, también 
oblicua, de la partícula.

Es inmediato observar que, si la partícula consigue "pasar", reduciendo 
su velocidad horizontal, la trayectoria sufrirá algo parecido a la 
refracción óptica. P.ej. si en el mismo tiempo en que la partícula 
avanzaba 1 unidad en vertical avanzaba también 1 en horizontal, es que 
formaba con el eje X un ángulo de 45º; si después de "pasar al otro 
lado", por 1 unidad en el eje Y, en el X ha avanzado sólo 1/2 (la 
velocidad horizontal se ha reducido a la mitad, la vertical sigue cte.) 
es obvio que formará otro ángulo con el eje X, en este caso de unos 
63'43º. (Y lo mismo con la reflexión óptica en el caso de que la 
partícula tuviera poca velocidad y saliera "rebotada").

Es posible, por tanto, sacar una ley de "refracción" de la trayectoria 
parecida a la de Snell en óptica, pero me parece que hasta aquí es 
suficiente por hoy, pues se trataba de saber qué pasaba con la 
partícula.

¿Es eso lo que Vd quería, Sr. Sirvent?


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