[escepticos] Un cuento algebraico para Carlitos

["Fernando Peregrin" <amscofin@...>]

Carlitos dijo:

> Necesito resolver la ecuación de tercer grado con coeficientes reales
> x^3 + a·x^2 + b·x + c = 0
++++++++++++++++++++++

Y Javier Armentia, de la lista de escépticos, se lo resolvió.

Así que como ya está resuelto, ahora, sin prisas, Carlitos, te voy a contar
un cuento:

Erase un tal Gerolano Cardano que vivio y trabajo en la Italia del
*cincuecento*; era filosofo, medico y matematico. Y descubrio una formula
para resolver la ecuacion algebraica:

x^3 + p·x + q = 0............(1)

( el termino en x^2 siempre se puede hacer desaparecer mediante un sencillo
cambio de variable).

La formula era la siguiente:

x = RAIZCUBICA[ - (1/2)·q + RAIZ(R)] + RAIZCUBICA[ - (1/2)·q - RAIZ(R)]

donde 

R = (1/4)·q^2 - (1/127)·p^3

Esta formula se le atribuyo tambien a un colega de Cardano,Tartaglia.

Pues bien, cuando las raices de (1) son todas reales, el algebra demuestra
que R es negativo.

Para Cardan y sus contemporaneos, que no tenian ni idea de como calcular la
raiz cuadrada de un numero negativo, esta situacion les parecia
extremadamente paradojica. Y desde entonces, los matematicos intentaron
expresar dichas raices reales de (1) mediante radicales reales. Como no lo
lograron, a estos casos, esto es, aquellos en que R es negativo, los
llamaron *casus irreducibilis*. Y en verdad que resultaron irreducibles,
como demostro muchos años despues Hoelder (1891).

Ahora que sabemos de numeros complejos podemos escribir las raices de (1).

Si hacemos  - (1/2)·q + i·RAIZ( - R ) = r·(cos(teta) + i· sen(teta)), 
donde  i es la unidad imaginaria,

x(k) = 2·RAIZCUBICA(r)·cos[(teta/3 + k·2·PI/3)], k = 1, 2 y 3

Saludos

Fernando