[escepticos] Contracción de longitudes

["Javi" <rucken@...>]

He intentado explicar el fenómeno de la contracción de la longitud y porqué
los cohetes siguen estando a la misma distancia en el problema de la
cuerda. Me ha salido un rollo insoportable y además no queda muy claro.
Pero ya que me he matado a escribirlo, pues lo he mandado.

Supongamos que nosotros estamos quietos en algún sistema de referencia
inercial. En cierto momento vemos pasar un tren a una cierta velocidad v
respecto a nosotros. Además ese tren lleva un reloj un tanto especial.

El reloj consiste en un tubo vertical de longitud L que tiene las caras
internas
hechas de espejo. Dentro del tubo un fotón va y vuelve. Una persona que
esté en el tren sabe el tiempo que ha pasado a partir del número de veces
que el fotón ha rebotado en los espejos del tubo.

Evidentemente, la persona que está en el tren ve que el fotón sube y baja,
es decir, que hace una trayectoria vertical. Sin embargo, nosotros no vemos
una trayectoria vertical sino diagonal, ya que al movimiento vertical del
fotón debemos superponerle el que lleva el tren. Dicho de otra forma,
nosotros vemos el siguiente movimiento en zig-zag del fotón:

           
/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\

                             velocidad del tren --------->

En cada ida y vuelta del fotón, nosotros observamos que recorre, no L, sino
la diagonal (D) del triángulo de lados L y v*T (v*T es la distancia
horizontal que recorre el tren cuando el fotón recorre el tubo. T es un
tiempo medido en nuestro sistema de referencia). Aplicando Pitágoras:

                              D = raiz(L^2 + (v*T)^2)     (1)


Además sabemos que L=c*T', donde T' es el tiempo que tarda el fotón en
recorrer el tubo, en el sistema de referencia del tren (c es, por supuesto,
la velocidad de la luz, o sea, la del fotón). Por tanto, sustituyendo en
(1)

                              D = raiz((c*T')^2 + (v*T)^2)    (2)

Pero como la velocidad de la luz es constante para todos los sistemas de
referencia (aquí uso los postulados de la relatividad), debe cumplirse:

                                c * T = D         (3)

Sustituyendo la expresión de D dada por (2) en la ecuación (3) y
arreglándolo un poco, tenemos:

                                  T' = T * raiz (1-(v/c)^2)

Vemos que si v>0 siempre se cumplirá que T'<T. ¿cómo interpretamos esto?

Supongamos que tenemos un reloj idéntico al lado nuestro, es decir, quieto
respecto de nosotros. El fotón de nuestro reloj tardará T' en recorrer el
tubo, es decir, el mismo T' que se mide en el tren para el reloj del tren.
¿por qué? Muy sencillo. Ambos relojes son iguales, y, por tanto, medirán el
mismo tiempo respecto de observadores que estén en su mismo sistema de
referencia.

Además T es el tiempo que, según nosotros, tarda el fotón en recorrer el
tubo del tren. Como T es mayor que T', nosotros vemos que el fotón tarda
más en recorrer el tubo del reloj del tren que el tubo de nuestro reloj. En
otras palabras, vemos que el reloj del tren va más despacio. Este es el
fenómeno de dilatación del tiempo:

  "El tiempo en un sistema móvil va más lento que en un sistema en reposo"

Veamos ahora qué relación tiene esto con la contracción de las longitudes.
Supongamos que el tren de nuestro ejemplo tiene que recorrer una cierta
distancia que mide d según nuestro sistema. Según nosotros, el tren
tardará:

                                          t = d / v        (o sea, d = v *
t)

Según el tren habrá tardado, cogiendo la fórmula de la dilatación del
tiempo:

                                        t' = t * raiz(1-(v/c)^2)    (4)

Pero el que está en el tren piensa: Yo voy a una velocidad v. Por tanto,
debo tardar:
                                          t' = d' / v       (5)

donde d' es la distancia a recorrer, medida desde el tren. Sustituyendo (4)
en (5):

                     t' = d' / v    =>    t * raiz(1-(v/c)^2) = d' / v    
=>

              =>  d' = v * t * raiz(1-(v/c)^2)    =>   d' = d *
raiz(1-(v/c)^2) 

Esta es la relación entre las distancias d' (medida desde el tren) y d
(medida desde nuestro sistema en reposo). Vemos que d' < d. Es un resultado
intuitivo, ya que si, desde el tren, vemos que tardamos menos tiempo, debe
ser que tenemos menos distancia a recorrer. Esto se denomina contracción de
las longitudes:

"Las longitudes medidas en sistemas móviles son menores que en sistemas en
reposo"

Esto pasa sólo con la dimensión en la dirección de la velocidad, es decir,
la longitudinal. Pero esto ahora no nos interesa. Vamos por fin a los
cohetes:

Supongamos que un cohete está inicialmente en x1=0 y el otro en x2=L.
Cuando empiezan a moverse, su movimiento queda descrito, según nuestro
sistema por:

                                    x1 = 1/2 * a * t ^ 2
                                    x2 = L + 1/2 * a * t ^ 2

es decir, las ecuaciones cinemáticas de toda la vida. Esto nos da que la
distancia entre los cohetes, según nosotros, será x2 - x1 = L. O sea, la
distancia que medimos siempre es la misma. No será la misma en el sistema
de referencia de los cohetes, que además es un sistema acelerado. Por eso,
no podemos aplicar la contracción de las longitudes ni aplicar las
transformaciones de Lorentz para pasar de un sistema a otro.

En resumen, L no es la distancia en el sistema de los cohetes sino en el
nuestro, tal como se dice en el enunciado del problema. Si dijésemos "en el
sistema de los cohetes la distancia entre ellos es L", entonces sí valdría
la contracción de las longitudes y nosotros veríamos que la distancia entre
cohetes es menor que L.

Saludos

Javi      (Papageno en el IRC. Segundo nick: Leporello)

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