Re: [escepticos] Cuentos matematicos (la hormiga)

[arteaga@...>]

>> El problema correcto es asi:
>> 
>> El riel (o cuerda), tiene 1 Km, y la hormiga avanza 1 cm, luego, 
>> el riel crece 1 KM a mas, luego la hormiga avanza mas 1 cm, 
>> luego el riel crece mas 1 KM propo...


>Que algún matemático lo desarrolle,


	Pues mira, yo no me creia que pudiese hacer falta tanto
tiempo, asi que he hecho mis cuentas. En vez de hacer el caso
donde la hormiga avanza y luego la cuerda se estira, he supuesto
que las dos cosas ocurren al mismo tiempo. Sea y(t) la distancia
que le queda a la hormiga por recorrer en centimetros en el
momento t, entonces

y'(t)  =  -1 + y(t)/(1+t)

El -1 es la velocidad de la hormiga en centimetros/segundo, y el 
y(t)/(t+1) es la velocidad a la que se estira la cuerda que hay 
por delante de la hormiga. Para justificarlo, pensar que en el 
momento t la longitud total de la cuerda es (1+t)*10^5   
(en centimetros), y lo que le queda a la hormiga por recorrer son  
y(t) ; como en un segundo la longitud total de la cuerda se estira 
en 10^5, lo que se estira la parte proporcional a y(t) es 
y(t)*10^5/(1+t)*10^5 = y(t)/(t+1) .

Bien, como resolvemos esa ecuacion?  Pasamos el y(t)/(t+1) a la
izquierda,

y'(t) - y(t)/(1+t)  =  -1

y usamos un "sucio" truco: dividimos por 1+t para tener

y'(t)/(1+t) - y(t)/(1+t)^2  =  -1/(1+t)

y vemos que lo de la izquierda es la derivada con respecto al
tiempo de y(t)/(1+t) :

 d    y(t)          -1
-- ( ------ )  =  -----
dt    1+t          1+t

y ahora esta clara la razon por la que dividimos por 1+t : era la
funcion de t por la que teniamos que dividir para que pudiesemos
agrupar los terminos en y(t) y y'(t) de la izquierda dentro de 
una sola derivada. Ahora integramos con respecto al tiempo:

y(t)/(1+t)  =  C -Ln|1+t|

donde C es alguna constante y por tanto

y(t) = (1+t) * ( C -Ln|1+t| )

Como sabemos que al principio (t=0) a la hormiga le queda por
recorrer un kilometro, entonces y(0)=10^5, luego C=10^5. 

y(t) = (1+t) * ( 10^5 -Ln|1+t| )

Por lo tanto, en que momento llega la hormiga al final de la
cuerda? Pues cuando y(t)=0 , es decir, cuando  t=e^(10^5) -1 .
Este numero se parece bastante al e^ 99999.42278434 que sale si
se alternan de forma discreta los pasos y estiramientos de la 
cuerda.

Un abrazo,

Santi