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[escepticos] bases primas



 > PS alguien sabe cual seria la ventaja de la base 11? Es que de verdad que
 > no le encuentro ningun sentido...

Esto es lo que dice Boyer en "A History of Mathematics":

"The Committee agreed on a decimal system, although there appear
to have been some earnest supporters of a duodecimal scheme. 
Lagrange firmly supported the decimalists agaisnt the duodecimalists, 
for he was not greatly impressed by the argument about divisibility.
(He is reported to have almost regretted not adopting as a base for 
the system some primer number, such as eleven, but it has been suggested 
that he may have done this simply to obstruct duodecimalists.)"

El comite en cuestion es el que dise~no el sistema decimal de 
pesas y medidas, y lo que estan discutiendo no es tanto el 
sistema de numeracion como el sistema de medidas.

Una ventaja que yo si le veo a un sistema de numeracion 
base 12, es que 12 - 1 = 11, que es un numero primo, con 
lo cual la prueba de los nueves (de los "onces" habria que 
decir) funcionaria algo mejor, al menos con las divisiones. 
Supongase, por ejemplo, que dividimos un numero N por 
otro D y obtenemos un cociente C y un resto R. Aplicamos 
el proceso "fuera nueves" a los numeros N, D, C y R, lo que 
nos da respectivamente n, d, c y r (recordemos que estos son 
numeros entre 0 y 8, o entre 1 y 9 si se prefiere). A continuacion 
calculamos d * c + r, aplicamos el "fuera nueves" al resultado, 
y eso deberia dar n. Esta prueba deberia detectar 8 de cada 
9 veces que hayamos cometido un error en el calculo, porque 
en caso de error d * c + r solo coincidiria con n (por casualidad)
1 de cada 9 veces. Sin embargo hay ciertos casos en los que el 
hecho de que 9 no es primo baja la precision de la prueba. Por 
ejemplo supongamos que n = r y d = 3 o 6. Entonces c = 0, 3 y 6 
darian resultado "positivo", mientras que solo c = 1, 2, 4, 5, 7 y 8 
nos permitirian deducir que hemos cometido un error, es decir, en 
caso de error solo nos enterariamos 6 de cada 9 veces. Nada de esto 
puede suceder en una base b tal que b-1 sea un numero primo.
(Para los matematicos:  Z_p, los enteros modulo p, forman un cuerpo
precisamente cuando p es primo. 3 y 6 son divisores de cero en Z_9.)


Miguel A. Lerma

P.D.: Mi propuesta "duodecimalista" va, por supuesto, de broma. 
La ventaja seria minima, y ademas ya nadie usa la prueba de los 
nueves :-).