[escepticos] Wittgenstein contra Gödel. Sobre verdad, demostrabilidad y contradicción.

["Irichc -" <irichc23@...>]

1. Es fácil imaginarse un lenguaje en el que no haya forma interrogativa ni 
forma imperativa, sino que la pregunta y la orden se expresen en forma 
enunciativa, por ejemplo, en formas correspondientes a nuestra: "me gustaría 
saber si..." y "mi deseo es que...".

Nadie diría de una pregunta (por ejemplo, respecto a si llueve fuera) que es 
verdadera o falsa. Pero, ciertamente, en castellano se dice eso de una 
proposición como "desearía saber si...". ¿Y si se empleara siempre esa forma 
en lugar de la interrogación?

2. La gran mayoría de las proposiciones que decimos, escribimos o leemos son 
proposiciones enunciativas.

Y -dices- estas proposiciones son verdaderas o falsas. O, como yo podría 
decir también, con ellas se juega al juego de las funciones de verdad. Pues 
el aserto no es algo que se añada a la proposición, sino un rasgo esencial 
del juego que jugamos con ella. Comparable, digamos, a lo característico del 
ajedrez, que hay en él un ganar y un perder y que gana quien como al otro el 
rey. Ciertamente podría haber un juego muy parecido, en determinado sentido, 
al ajedrez, un juego que consistiera en realizar los movimientos del ajedrez 
pero sin que hubiera en ello un ganar y un perder, o las condiciones del 
ganar fueran otras.

3. Imagina que alguien dice: una orden se compone de una propuesta 
('suposición') y del ordenar lo propuesto.

4. ¿No podría ejercerse la aritmética sin que se le ocurriera a uno la idea 
de pronunciar proposiciones aritméticas y sin que advirtiéramos jamás la 
semejanza de una multiplicación con una proposición?

Pero ¿no menearíamos la cabeza cuando alguien nos mostrara una 
multiplicación mal hecha, como lo hacemos cuando alguien nos dice que llueve 
cuando no llueve? - Sí; y aquí hay un punto de conexión. Pero también 
hacemos gestos recriminantes cuando, por ejemplo, nuestro perro no se 
comporta como queremos.

Estamos acostumbrados a decir "2 por dos son 4" y el verbo "son" hace de 
ello una proposición y establece aparentemente un parentesco próximo con 
todo lo que llamamos 'proposición'. Mientras que se trata sólo de una 
relación muy superficial.

5. ¿Hay proposiciones verdaderas en el sistema de Russell, que no pueden ser 
demostradas en él? - ¿A qué se llama, entonces, proposición verdadera en el 
sistema de Russell?

6. ¿Qué significa, pues, que una proposición 'es verdadera'? 'p' es 
verdadera = p (Esta es la respuesta.)

Así pues, nos gustaría preguntar: ¿bajo qué circunstancias se afirma una 
proposición? O: ¿cómo se usa en el juego de lenguaje la afirmación de una 
proposición? Y la 'afirmación de una proposición' es aquí algo opuesto a la 
pronunciación de una proposición como ejercicio práctico de lenguaje, por 
ejemplo, o como parte de otra proposición, o cosas semejantes.

Por tanto, si se pregunta en este sentido: "¿Bajo qué circunstancias se 
afirma una proposición en el juego de Russell?", la respuesta es: Al final 
de una de sus demostraciones, o como 'ley fundamental' (Pp.). No hay otro 
modo de usar en este sistema proposiciones enunciativas del simbolismo de 
Russell.

7. Pero ¿no puede haber proposiciones verdaderas, que estén escritas en ese 
simbolismo, pero que no sean demostrables en el sistema de Russell?" - 
'Proposiciones verdaderas' son, pues, proposiciones que son verdaderas en 
otro sistema, es decir, que pueden ser afirmadas con derecho en otro juego. 
Ciertamente, ¿por qué no puede haber proposiciones así? O más bien: ¿por qué 
no han de escribirse proposiciones -de física, por ejemplo- en el simbolismo 
de Russell? La pregunta es del todo análoga a ésta: ¿Puede haber 
proposiciones verdaderas en el lenguaje de Euclides, que no sean 
demostrables en su sistema, pero sean verdaderas? - Pero hay incluso 
proposiciones que son demostrables en el sistema de Euclides pero falsas en 
otro sistema. ¿No puede haber triángulos -en otro sistema- que sean 
semejantes (muy semejantes) sin tener ángulos iguales? - "¡Pero esto es una 
broma! ¡Puesto que en ese caso no son 'semejantes' en el mismo sentido!". - 
Ciertamente no; y una proposición que no puede demostrarse en el sistema de 
Russell es 'verdadera' o 'falsa' en otro sentido que una proposición de los 
Principia Mathematica.

8. Me imagino que alguien me pidiera consejo; dice: "He construido una 
proposición (la designaré por 'P') en el simbolismo de Russell y mediante 
ciertas definiciones y transformaciones se la puede interpretar de modo que 
diga: 'P no es demostrable en el sistema de Russell'. ¿No he de decir ahora 
de esa proposición que, por una parte, es verdadera, mientras que, por otra, 
es indemostrable? Pues, suponiendo que fuera falsa, ¡entonces es verdad que 
es demostrable! Y esto no puede ser. Y si está demostrada, entonces está 
demostrado que ella no es demostrable. De modo que no puede ser más que 
verdadera pero indemostrable".

Igual que preguntamos: "¿en qué sistema 'demostrable'?", hemos también de 
preguntar: "¿en qué sistema 'verdadera'?". 'Verdadera en el sistema de 
Russell' significa, como se ha dicho: demostrada en el sistema de Russell; y 
'falsa en el sistema de Russell' quiere decir: lo contrario está demostrado 
en el sistema de Russell. - ¿Qué significa ahora tu: "supuesto que sea 
falsa"? En el sentido de Russell significa: 'supuesto que en el sistema de 
Russell esté demostrado lo contrario'; si ésta es tu suposición, renunciarás 
ahora a tu interpretación de que es indemostrable. Y bajo 'esa 
interpretación' entiendo la traducción a esa proposición castellana. - Si 
supones que la proposición es demostrable en el sistema de Russel, entonces 
es verdadera en el sentido de Russell y hay que volver a rechazar la 
interpretación "P no es demostrable". Si supones que la proposición es 
verdadera en el sentido de Russell, entonces se sigue lo mismo. También: no 
contradice que la proposición sea falsa, en otro sentido que en el de 
Russell, el que esté demostrada en el sistema de Russell. (Lo que en el 
ajedrez significa "perder", puede ser en otro juego ganar).

9. ¿Qué significa, pues, P y "P es indemostrable" son la misma proposición? 
Significa que esas dos proposiciones castellanas tienen una expresión en tal 
y tal notación.

10. "Pero P no puede ser demostrable, puesto que, suponiendo que estuviera 
demostrada, estaría demostrada la proposición que dice de ella que no es 
demostrable". Pero si ello estuviera demostrado, o si yo creyera -quizá por 
error- que lo había demostrado, ¿por qué no había de dejar valer la 
demostración y decir que tenía que volver a retirar mi interpretación de 
"indemostrable"?

11. Supongamos que demuestro la indemostrabilidad (en el sentido de Russell) 
de P; entonces, con esa demostración he demostrado P. Y si esa demostración 
fuera tal en el sistema de Russell, entonces habría demostrado al mismo 
tiempo su pertenencia y su no pertenencia al sistema de Russell. -Eso sucede 
por construir tales proposiciones. - ¡Pero aquí hay, ciertamente, una 
contradicción! Bien, entonces hay aquí una contradicción. ¿Importa algo?

12. ¿Importa la contradicción que surge cuando alguien dice: "Miento. - Por 
tanto no miento. - Por tanto miento, etc."? Quiero decir: ¿es nuestro 
lenguaje menos utilizable porque en ese caso, de una proposición pueda 
seguirse, según las reglas habituales, su contrario y viceversa? - La 
proposición misma es inutilizable e igualmente esa deducción; pero ¿por qué 
no hay que hacerlo? ¡Se trata de un arte poco lucrativo! - Es un juego de 
lenguaje que guarda semejanza con el juego de coger el pulgar.

13. Una contradicción tal alcanza interés sólo porque ha preocupado a 
ciertos seres humanos y muestra, por ello, cómo pueden surgir del lenguaje 
problemas preocupantes; y qué clase de cosas pueden preocuparnos.

14. Una demostración de la indemostrabilidad es casi una demostración 
geométrica; una demostración referente a la geometría de las demostraciones. 
Del todo análoga a una demostración de que tal y tal construcción no es 
realizable con compás y regla. Una demostración así contiene un elemento de 
predicción, un elemento físico. Puesto que a consecuencia de esa 
demostración decimos a una persona: "No te esfuerces en encontrar una 
construcción (de la trisección del ángulo, por ejemplo), puede demostrarse 
que no es posible". Esto requiere decir: es esencial que la prueba de la 
indemostrabilidad sea capaz de ser aplicada de ese modo. Ha de ser para 
nosotros -podría decirse- una razón terminante abandonar la búsqueda de una 
demostración (esto es, de una construcción de tal y tal tipo).

Una contradicción es inutilizable como predicción de ese tipo.

15. Llamar a algo, con razón, la proposición "X es indemostrable" depende de 
cómo demostremos esa proposición. Sólo la demostración muestra qué es lo que 
cuenta como criterio de demostrabilidad. La demostración es una parte del 
sistema de operaciones, del juego, en el que la proposición es usada, y nos 
muestra su 'sentido'.

La cuestión es, pues, si la 'demostración de la indemostrabilidad de P' es 
aquí una razón terminante para suponer que no se encontrará una demostración 
de P.

16. La proposición "P es indemostrable" después de ser demostrada tiene un 
sentido diferente a antes.

Si está demostrada es la figura terminal de la demostración de 
indemostrabilidad. - Si no está demostrada, entonces no está claro aún qué 
ha de contar como criterio de su verdad, y su sentido -puede decirse- está 
velado todavía.

17. ¿Cómo he de suponer que P está demostrada? ¿Mediante una demostración de 
indemostrabilidad? ¿O de otra manera? Supón que mediante una demostración de 
indemostrabilidad. ¡Ahora, para ver lo que está demostrado, mira a la 
demostración! Quizá esté demostrado aquí que tal y tal forma de la 
demostración no conduce a P. - O bien, supón que P está demostrada de modo 
directo -como yo diría en este caso-, entonces se sigue la proposición "P es 
indemostrable" y tiene que mostrarse ahora cómo esa interpretación de los 
símbolos de P colisiona con el hecho de la demostración y por qué hay que 
abandonarla aquí.

Pero supongamos que no P esté demostrada. - ¿Cómo demostrada? Quizá porque P 
está demostrada directamente, ya que de ahí se sigue que ello es demostrable 
y, por tanto, no-P. ¿Qué he de decir ahora: "P" o "no-P"? ¿Por qué no ambas? 
Si alguien me pregunta: "¿Qué es el caso, P o no-P?", contesto: P está al 
final de una demostración russelliana, por eso escribes en el sistema 
russelliano: P; pero, por otra parte, es demostrable, y esto se expresa 
mediante no-P, pero esa proposición no está al final de una demostración 
russelliana, no pertenece, por tanto, al sistema russelliano. - Cuando a P 
se le dio la interpretación "P es indemostrable" no se conocía esa 
demostración de P y no puede decirse, por tanto, que P dice: esta 
demostración no existe. - Si se ha construido la demostración, con ello se 
ha creado también una nueva situación: y ahora hemos de decidir si queremos 
llamar a esto una demostración (una demostración más) o si queremos llamar a 
esto todavía el enunciado de la indemostrabilidad.

Supongamos que no-P esté directamente demostrada; ¡está demostrado, 
entonces, que P puede demostrarse directamente! Se trata de nuevo, por 
tanto, de una cuestión de interpretación -a menos que tengamos ahora una 
demostración directa de P-. Si fuera así, bueno, sería así.

(La veneración y el miedo supersticioso de los matemáticos ante la 
contradicción).

18. "¡Pero supongamos que la proposición fuera falsa, y por ello 
indemostrable!" - ¿Por qué la llamas 'falsa'? ¿Porque ves una demostración? 
- ¿O por otros motivos? Entonces no importa. Puede muy bien llamarse falso 
al principio de contradicción fundándose, por ejemplo, en que muy a menudo 
contestamos con buen sentido a una pregunta: "sí y no". Y lo mismo para la 
proposición 'no no p = p': porque usamos la doble negación como un refuerzo 
de la negación y no sólo como su supresión.

19. Dices: "por lo tanto, P es verdadera e indemostrable". Esto quiere decir 
seguramente: "Por tanto, P". Por mí está bien, pero ¿con qué fin escribes 
esa 'afirmación'? (Es como si alguien, de ciertos principios sobre formas 
naturales y estilo arquitectónico, hubiera inferido que en la cima del monte 
Everest, donde nadie puede vivir, debería haber un palacete de estilo 
barroco). ¿Y cómo podrías hacerme plausible la verdad de la afirmación, ya 
que no puedes usarla para nada más que para esa monería?

20. Ha de recordarse aquí que las proposiciones de la lógica están 
construidas de modo que como información no tienen ninguna aplicación en la 
práctica. Por eso muy bien podría decirse que no son proposiciones en 
absoluto; y que necesita justificarse incluso el mero hecho de escribirlas. 
Y si a esas 'proposiciones' se les añade ahora una estructura 
para-proposicional de otro tipo, entonces es cuando está oscuro de verdad 
qué clase de aplicación, qué clase de sentido, ha de tener ahora ese sistema 
de combinaciones de signos, puesto que el mero tono proposicional de esas 
conexiones de signos no les proporciona ya un significado.

L. Wittgenstein. Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. Parte 
I. Apéndice III.

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