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[escepticos] RE Cuadrados y cúbicos



----- Original Message ----- 
From: "manolo_elmas" <theveterans@xxxxxxxxxxxxxxxx>


Antes que nada avisar de que servidor es de letras, así que de física y
matemáticas lo justito. Por esto mismo es por lo que formulo la siguiente
cuestión, para que algún entendido me ilumine.

Tengo entendido que, así como la superficie de un objeto crece
exponencialmente en cuadrados, el volumen lo hace en cúbicos. Esta es una de
las razones que esgrimió Isaac Asimov en un libro suyo (no recuerdo ahora
cuál es, tendría que revisar mi biblioteca) para negar la existencia de
seres gigantescos terrestres, tipo Bigfoot, o alados (como esas presuntas
aves gigantes que se cuenta que algunos han observado). Es decir, si las
medidas de dichos seres fueran reales, el volumen que ocuparían supondría un
peso tal que les haría imposible el caminar o despegar del suelo o
mantenerse en el aire.

¿Podría alguien por favor explicar el asunto de forma más certera y
rigurosa?

Gracias por adelantado.

Manolo elmás

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Hola Manolo:

Primero una puntualización. El crecimiento no puede ser "exponencial cuadrado". O es 
cuadrado, o es exponencial, puesto que cada uno se refiere a un crecimiento según una 
función distinta. La cuadrada implica que por cada unidad aumentada, el crecimiento 
aumenta en el cuadrado de la unidad (más un posible offset lineal, es una parábola). La 
exponencial implica que el crecimiento sigue una función del tipo A*e^B donde 'e' es la 
famosa constante 2.71828...

En segundo lugar, has explicado la idea de base bastante bien. Resulta que el peso de un 
cuerpo crece más o menos cúbicamente al crecer el volumen (suponiendo que aumentas por 
igual todas las dimensiones y no únicamente una o dos, por ejemplo hacer al bicho más alto 
pero no más ancho ni más largo). Sin embargo, las "plantas" de las patas, el tejido 
muscular y otros puntos importantes crecen cuadráticamente (la planta es un plano; los 
músculos también son en realidad bidimensionales, son conjuntos de fibras plegadas) y 
empezarías a necesitar mucho más músculo y plantas de las patas para poder seguir moviendo 
igual el peso después del crecimiento.

Sin embargo, ten en cuenta que aunque una función sea cúbica y la otra cuadrática, tienen 
un offset que puede ser diferente. Me explico: pongamos que el punto crítico a partir del 
cual la criatura colapsaría es la intersección entre las dos funciones (se pueden escribir 
de forma que sea realmente así). Como la cúbica es "más rápida" que la cuadrada, sabemos 
que en algún momento la alcanzará y se tienen que cortar. Sabemos que hay corte porque 
sabemos que hay al menos un punto en el que la cúbica está por debajo de la cuadrada, ya 
que partimos de un animal del que sabemos que en su tamaño actual puede sobrevivir sin 
colapsarse. Pues bien, puede ocurrir que el offset y las constantes multiplicativas hagan 
que las curvas se corten en un punto lejano del punto actual del tamaño del animal (porque 
la cúbica "crezca relativamente lento" y la cuadrada "relativamente rápido", por ejemplo, 
si fueran 0.1*x^3 y 1000*x^2), entonces podríamos seguir aumentando su tamaño bastante. 
Cierto que el animal ya no sería tan rápido, ni tan ligero, ni tan saludable, pero 
seguiría viviendo. Por ejemplo, seguro que las pulgas, con los músculos que tienen, 
podrían incrementarse bastante (no sé, hasta el tamaño de un huevo de gallina por ejemplo) 
sin sufrir demasiado. Por supuesto, cada vez saltarían menos proporcionalmente hablando.

No estoy de acuerdo con Asimov de que el único animal gigante que podría sobrevivir es 
Nessie en caso de que existiera (imagino que lo dice porque el agua sustenta tu propio 
peso siempre que haya una columna de ella lo suficientemente grande debajo de ti): en el 
planeta hemos tenido animales que yo considero gigantescos sin problemas en el pasado 
remoto, incluyendo insectos gigantes (para el tamaño de un insecto) que incluso volaban, 
como las efémeras.

Un saludo. Jose Brox