[escepticos] Cálculo sobre la sábana santa

["Javi" <rucken@...>]

He hecho un pequeño calculito sobre la sábana santa. Se trata de calcular,
suponiendo que la sábana es auténtica, cuánta contaminación es necesaria
para que la datación diga que pertenece al año A (un año cualquiera). Si
alguien tiene la paciencia de leerse esto y encuentra algún fallo, que me
lo diga, please.

Primero supondré que la contaminación ha sido uniforme con el tiempo. Antes
de empezar, aclaro la nomenclatura:

Na = Número de núcleos de carbono añadidos por contaminación a lo largo del
tiempo hasta el año en que se hace el análisis
No = Número de núcleos de carbono que había en la sábana cuando ésta se
hizo (es decir, núcleos que había inicialmente)
f = Na / No (relación entre ambos números)
Am = Año en que se hizo la sábana (que podemos suponer igual al año en que
murió Jesús. En cualquier caso no será posterior a la muerte de éste)
Ad = Año en que se hizo la sábana según el análisis del C14
Aa = Año en que se hizo el análisis
p = razón entre los núcleos de C14 y los núcleos totales de carbono en un
organismo que está en equilibrio con el entorno (o sea, vivo)
I[a,b](f(x)dx) = Integral de f(x) desde x=a hasta x=b

Recuerdo también la ley de desintegración radiactiva. Si inicialmente
disponemos de Ni núcleos de cierto elemento radiactivo, tras un tiempo t
quedarán:

                                    N(t) = Ni * exp (-t/T)

donde T se denomina tiempo de vida media. En el caso del carbono 14 es de
8267 años.

Lo primero que haré es calcular la contribución de la contaminación al
número total de núcleos de C14 encontrados. La muestra de sábana contiene,
incluyendo todos los isótopos, Na + No núcleos de carbono. Como la
contaminación es uniforme, el ritmo de contaminación es, expresando el
tiempo en años:

                           dN / dt = Na*p / (Aa - Am)

El valor de p no afectará al resultado final, como veremos. Pero por si a
alguien le interesa, es aproximadamente de 10 ^ -12, es decir, un núcleo de
C14 por cada billón de núcleos de carbono. Así, los núcleos de C14
provenientes de la contaminación serán (1):

 I[Am,Aa](dN/dt*exp (-(Aa-t)/8267)dt) =
Na*p*8267/(Aa-Am)*(1-exp((Am-Aa)/8267))

La contribución debida a los núcleos que había inicialmente en la sábana es
(2):

                                 No*p*exp(-(Aa-Am)/8267)

Ahora bien, en la datación se midió una cantidad total de Na + No núcleos
de carbono y se determinó la cantidad de C14 según suponiendo que TODOS los
núcleos eran del mismo año. En otras palabras, se determinó Ad a partir de
(3):

                                   (No + Na)*p*exp(-(Aa-Ad)/8267)

Para averiguar Na, debemos hacer (1) + (2) = (3) y despejar Na. En vez de
determinar Na determinaremos f. Esto se puede hacer dividiendo toda la
ecuación por No. Arreglando todo (se simplifica la p) llegamos a la
siguiente expresión para f:

                              exp( Ad / 8267) - exp( Am / 8267)
           f =
----------------------------------------------------------------------------
--------
                8267/(Aa-Am)*(exp(Aa/8267)-exp(Am/8267))-exp(Ad/8267)

Tomemos ahora valores para los parámetros. Me inventaré algunos (pequeñas
modificaciones sobre estos valores no alterarán mucho el resultado):

                            Aa = 2000   y    Am = 40

Sustituyendo, tenemos f en función de Ad. Aproximadamente será:

                                 exp(Ad/8267) - 1
                           f = ------------------------------
                                1.134 - exp(Ad/8267)

Vamos a darle valores a Ad:

Ad=40 => f=0, como es de esperar.

Ad=536 => f=1. Esto significa que, si la datación hubiese dado que la
sábana es del año 536, habría tanto carbono proveniente de la contaminación
como carbono original. Sería, pues, una sábana un poco gruesa, más bien una
Manta Santa.

Ad=950 => f=10. Diez veces más carbono contaminante que original. Sería un
magnífico Edredón Santo

Ad=1040 (aprox) => f=oo. Es decir, si hubiese dado que la sábana es del año
1040, haría falta una cantidad infinita de contaminación, lo cual es,
evidentemente, imposible.

Ad > 1040 => f<0 . Esto carece de sentido físico.

CONCLUSIÓN:

Supongamos que tenemos una muestra del año 40 que ha llegado hasta el año
2000 y que ha sido contaminada de manera uniforme en el tiempo. Si hacemos
el análisis del C14 suponiendo que no ha habido contaminación, JAMAS
podremos encontrar una datación más cercana que el año 1040.

Si dais otros valores parecidos de Am y Aa, el Ad crítico no se alejará
mucho de 1040.

Ahora supongamos que la contaminación se ha producido en el momento de ser
analizada la sábana. Es un caso mucho más fácil. No vale la pena que lo
haga en detalle. Si ponemos que Am=40, Aa=2000 y Ad=1300, da f=1,6. Sería,
por tanto, una sábana de considerable grosor.

Por tanto, tanto si suponemos contaminación uniforme como contaminación en
el momento del análisis, no es razonable pensar que la sábana sea del siglo
I.

Saludos

Javi      (Papageno en el IRC. Segundo nick: Leporello)

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Confucio
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