[escepticos] LA "PARADOJA" DE SIRVENT (2)

["ANGEL RIEGO CUE" <angelriego@...>]

Queridos colisteros:

Como lo prometido es deuda, ahí va mi análisis a la solución propuesta 
por el Sr. Sirvent a su propio enigma, precedida de una re-expplicación 
del planteamiento (que yo mismo no tenía totalmente claro) y de la 
solución dad por él.

Lo primero que tengo que decir, es que en el mensaje donde daba su 
propia solución a la "paradoja", el Sr. Sirvent descalificaba mi 
solución con el argumento de que si probábamos varios planteamientos de 
paso a límite (él citaba otra posibilidad, tomando a+Da, con Da->0), 
pues "probando varias formas de variación de potencial tenemos 
diferentes situaciones físicas antes de tender a cero" (???). Esto es 
obvio: si se plantea un límite desde otro punto de partida, para que el 
problema esté bien hecho, el resultado final debe ser el mismo, hecho 
por uno u otro método, pero los pasos intermedios por supuesto que no 
tienen por qué dar lo mismo (sólo faltaba...)

En realidad, después de haber sostenido personalmente un intercambio de 
correspondencia con el Sr. Sirvent, este parece haber retirado sus 
objeciones a mi método, o sea que procede ahora hablar del suyo.


1.- RE-PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Se trataba de saber si una partícula de masa m y velocidad v que viene 
desde la parte negativa del eje X conseguirá pasar a la parte positiva 
si lleva la suficiente v, ya que en X=0 encontramos una discontinuidad 
de potencial que hace que la fuerza aplicada sea infinita, durante un 
instante infinitesimal, y por tanto el impulso mecánico=fuerza*tiempo 
está indeterminado.

El Sr. Sirvent considera sólo dos posibilidades que respeten la ley, 
"sagrada" en Física, de la conservación de la energía:

A) La partícula consigue pasar normalmente, si lleva una velocidad v 
mayor de un mínimo Vo (si no, es rechazada hacia atrás por el campo y 
vuelve por donde vino, a velocidad -v).

Este Vo se calcula de forma trivial, igualando energía cinética de la 
partícula = energía potencial del campo. El problema se reduce a un 
simple ejercicio de 2º de BUP, como cuando se calcula la velocidad 
necesaria para que un objeto de masa "m", lanzado verticalmente, llegue 
a una altura "h", o sea, supere la barrera del potencial gravitatorio 
hasta una altura "h":

  1/2*m*v^2 = m*g*h  -> v = sqr(2*g*h)     

  (vemos que la v necesaria no depende de la masa)

Pues aquí es igual de trivial, sólo que el potencial es una cte. "a" y 
no depende de h:

  1/2*m*v^2 = a  -> v = sqr(2*a/m)

Esta v es la velocidad mínima "teóricamente" necesaria para que una 
partícula de masa m supere la barrera de potencial de valor "a", y la 
llamaremos Vo a partir de ahora.


B) Otra posibilidad (que el Sr. Sirvent se saca de la manga) es que 
cualquiera que sea la velocidad inicial v de la partícula, sea rechazada 
hacia atrás con velocidad -v. Obsérvese que esta posibilidad mantiene 
"astutamente" la conservación de la energía, puesto que energía cinética 
antes=energía cinética después, 1/2*m*v^2 = 1/2*m*(-v)^2 (y no hay más 
energía aquí que la cinética de la partícula, tanto antes como después).

¿Y por qué había de ocurrir esto? Pues, ya que hay una discontinuidad y 
el impulso está indefinido, por ser de la forma infinito*cero, pues 
puede valer cualquier cosa... incluido el necesario para rechazar 
siempre a la partícula, conservando la energía cinética. (Todo esto 
parece muy artificial, ¿no?)

El resto de posibilidades: p.ej., que la partícula sea rechazada para 
velocidades mayores que el "mínimo teórico", pero consiga pasar para 
otra v aún mayor; o, incluso, que el impulso pueda resultar infinito por 
aquello de que de una indeterminación pueda salir cualquier cosa, son 
descartadas "a priori" por no cumplir la Conservación de la Energía: 
sólo puede elegirse entre A) y B).

En este punto, tengo que confesar que me costó entender que sólo había 
esas 2 posibilidades, no sé si debido a mi propia torpeza, a que el Sr. 
Sirvent no fue más explícito, o a ambas cosas. Si me hubiera dado cuenta 
antes, hubiera podido ahorrarme mi largo desarrollo numérico 
"cuantitativo" pues, para elegir entre sólo 2 posibilidades, basta un 
mero razonamiento "cualitativo", como se ve a continuación.


2.- RAZONAMIENTO DEL SR. SIRVENT

Si una partícula viene desde la parte POSITIVA de las X (= desde la 
derecha, en sentido contrario de lo planteado) será acelerada por el 
potencial y, obviamente, cruzará al otro lado. Pues bien, todas las 
leyes físicas (excepto las de la Termodinámica, pero aquí no entran) 
admiten, por así decirlo, la "moviola hacia atrás", y tienen que seguir 
cumpliéndose si la "película de los hechos" se proyecta al revés, yendo 
del futuro al pasado. Si damos "moviola hacia atrás" a la "película" 
antes contada, vemos una partícula que avanza desde la parte negativa 
del eje X (como en el caso planteado), cruza la barrera de potencial, y 
continúa por la parte positiva (aunque a menor velocidad), luego 
"consigue pasar" llevando una velocidad inicial finita.

Por tanto, el único caso de los 2 compatible con que una partícula 
llegue desde la izquierda con velocidad finita y consiga pasar a la 
derecha es el A), pues el B) supone "rebote generalizado" de todo lo que 
llegue por la izquierda; y la velocidad mínima para pasar ha de ser, 
pues, la Vo=sqr(2*a/m) y no otra, para que haya conservación de la 
energía.



3.- MI COMENTARIO

El razonamiento anterior es de una gran sencillez y elegancia, pero 
totalmente inútil. Es decir, es una solución muy elegante y correcta de 
un dilema inexistente, pues no hay ningún dilema que solucionar, ya que 
la posibilidad B) se puede descartar de entrada.

¿Por qué? Para empezar, que el impulso recibido por la partícula pueda 
depender de la velocidad que lleve suena a fantástico. Existen fuerzas 
que dependen de la velocidad en el caso de cargas eléctricas en campos 
magnéticos, pero si aquí sólo hablamos de masa, el potencial que tenemos 
es, para entendernos (y con perdón por la falta de rigor), de tipo 
"gravitatorio", donde la fuerza que recibe una partícula no depende de 
la velocidad que lleve.

Es decir, siempre podríamos construir un modelo matemático "teórico" en 
el cual el impulso aplicado (fuerza*tiempo) dependa de la velocidad de 
la partícula, pero entonces en la ecuación del potencial aparecería la 
v, y ya no sería simplemente una constante "a".

Otra forma de verlo es que el impulso mecánico (fuerza*tiempo) no 
depende de v, porque es el producto de 2 factores, ninguno de los cuales 
depende de v: la fuerza depende de las ecuaciones del potencial, que son 
las mismas sin necesidad de que lo atraviese o no ninguna masa a ninguna 
velocidad; y el tiempo, en nuestro modelo ideal, es el que tarda una 
partícula puntual sin extensión que atraviesa una línea recta sin 
grosor: o sea 0, para cualquier velocidad v>0, y no depende de la 
velocidad. ¿Que en la realidad no es así, que la partícula tiene 
dimensiones, y el grosor de la "zona" atravesada no es 0? Pues entonces, 
adiós indeterminación, y todo se reduce a calcular Vo como antes.

Sin embargo, en la posibilidad B), se supone que el potencial "calcula" 
cuánto impulso le debe dar a la partícula para que salga por donde vino 
con la misma velocidad (cambiada de signo), luego el impulso depende de 
la velocidad. Y que un valor esté "indeterminado" en una ecuación no 
significa que podamos hacer con él lo que queramos, y estirarlo o 
encogerlo a nuestro gusto como si fuera un chicle. Si el impulso no 
depende de v, pues no depende de v, por muy "indeterminado" que esté. 
Cuando en Física hay una indeterminación de este tipo, lo que se suele 
hacer es plantear el paso a límite (el método que seguí yo).




Por cierto, recuerdo que el Sr. Sirvent escribió lo siguiente:

"Pero estoy seguro de que nadie va a resolver mi paradoja en las 
próximas 24 horas. De hecho, hala, lo pongo como reto a lo James Randi.
Por supuesto, no ofrezco milloncejos, pero bueno, prometo callarme si se 
resuelve satisfactoriamente pronto. (Je je, voy chasqueando nudillos, 
que tengo para rato de mensajes...)"

Esto fue enviado el 10/02/99 a las 13:08, y mi solución (que, al 
parecer, es válida) la envié al Sr. Sirvent el 12/02/99 a la 1:12 
(aunque a los colisteros llegó mucho después). ¿Es lo suficientemente 
"pronto" para obligarle a cumplir su promesa, Sr. Sirvent? (Lo de las 24 
horas era una "seguridad" suya, pero no aparece condicionado 
directamente a la promesa, pues cuando dice "tengo para rato de 
mensajes" se entiende que ese "rato" está dentro del plazo ofrecido).


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