Re: [escepticos] Convicciones íntimas en Matemáticas

[pepet <arlandispepe@...>]

Goyo wrote:
...[suprimido]
> Se supone que los resultados de las matemáticas son lo más indiscutible que
> puede haber, que una prueba correcta no admite discusión. Sin embargo, veo
> un problema en los fundamentos que creo que implica la necesidad de recurrir
> todavía a la "convicción íntima" (¿creencia?) para decidir la validez de una
> prueba. El problema puede expresarse así: en la formalización de la lógica
> se utiliza la teoría de conjuntos, pero la teoría de conjuntos no es tal
> (una teoría formal) hasta que no hayamos formalizado la lógica, así que es
> la pescadilla que se muerde la cola.
> 
> Hilbert se refiere a esto cuando habla en sus "Fundamentos de la Geometría"
> de la necesidad de "un desarrollo parcial y simultáneo de Lógica y
> Aritmética".

La Teoría de Conjuntos viene determinada por:
a) Un vocabulario o conjunto de símbolos.
b) Unas reglas de formación de proposiciones (sintaxis) que indica que
tipo proposiciones son admisibles (no verdaderas, sino "gramaticalmente
correctas")
c) Unas nociones primitivas.
d) Unos axiomas o proposiciones que se admiten como verdaderas.
e) Unas reglas de deducción que permiten demostrar si una proposición es
cierta o falsa.
Por lo que para decidir si una demostración es válida o no simplemente
es necesario ver si se han aplicado o no las reglas de deducción y por
tanto no precisan de ninguna "convicción íntima".

El problema que existe en los fundamentos es que desde el teorema de
Gödel se comprobó que en cualquier sistema axiomático que tenga al menos
la complejidad de la aritmética pueden aparecer proposiciones
indecidibles esto es que es imposible demostrar tanto la certeza como
falsedad de una proposición enunciadas según las reglas de formación de
proposiciones de dicho sistema axiomático y durante la demostración del
teorema se comprueba que es muy poco probable que se pueda encontrar un
modelo finito de dicho sistema axiomático con lo que no tendremos nunca
la seguridad de que un sistema axiomático lo suficientemente complejo
como para que sea interesante está libre de contadicciones internas.
saludos pepet

Pdata. La única garantía sobre la verdad de las matemáticas es que
después de más de dos milenios usándolo el sistema aximático de Euclides
aún está libre de contradicciones. En otras palabras no podemos estar
seguros de la verdad absoluta de las matemáticas, pero a pesar de todo
funcionan.
resaludos pepet