[escepticos] Re: [escepticos] Convicciones íntimas en Matemáticas

["Goyo" <goyodiaz@...>]

----- Original Message -----
From: "pepet" <arlandispepe en retemail.es>
To: <escepticos en ccdis.dis.ulpgc.es>
Sent: Friday, September 15, 2000 2:18 AM
Subject: Re: [escepticos] Convicciones íntimas en Matemáticas


Goyo wrote:
...[suprimido]
> Se supone que los resultados de las matemáticas son lo más indiscutible
que
> puede haber, que una prueba correcta no admite discusión. Sin embargo, veo
> un problema en los fundamentos que creo que implica la necesidad de
recurrir
> todavía a la "convicción íntima" (¿creencia?) para decidir la validez de
una
> prueba. El problema puede expresarse así: en la formalización de la lógica
> se utiliza la teoría de conjuntos, pero la teoría de conjuntos no es tal
> (una teoría formal) hasta que no hayamos formalizado la lógica, así que es
> la pescadilla que se muerde la cola.
>
> Hilbert se refiere a esto cuando habla en sus "Fundamentos de la
Geometría"
> de la necesidad de "un desarrollo parcial y simultáneo de Lógica y
> Aritmética".

La Teoría de Conjuntos viene determinada por:
a) Un vocabulario o conjunto de símbolos.
b) Unas reglas de formación de proposiciones (sintaxis) que indica que
tipo proposiciones son admisibles (no verdaderas, sino "gramaticalmente
correctas")
c) Unas nociones primitivas.
d) Unos axiomas o proposiciones que se admiten como verdaderas.
e) Unas reglas de deducción que permiten demostrar si una proposición es
cierta o falsa.
Por lo que para decidir si una demostración es válida o no simplemente
es necesario ver si se han aplicado o no las reglas de deducción y por
tanto no precisan de ninguna "convicción íntima".

[Goyo]
Pero hay realmente un problema, está sobre todo en el apartado e). Esas
reglas de deducción son el cálculo de la lógica de primer orden, y sirve de
algo porque es correcto y completo. Para probar que los teoremas de la
teoría de conjuntos deducidos gracias al cálculo son realmente teoremas
necesitamos probar que el cálculo es correcto, y para probar esto recurrimos
a la teoría de conjuntos...

En definitiva, creo que la aceptación de la validez de una demostración
matemática (o mejor, una demostración lógica, que ya supongo que no todo el
mundo está tan próximo al logicismo como yo) es necesario algo más que el
simple rigor lógico, y esto es lo que llamaba "convicción íntima", me temo
que con poca fortuna, pero espero que en el contexto pueda interpretarse
bien.

Carrol expresa algo parecido en su historia de Aquiles y la tortuga. Lo
resumo aquí porque creo que no es muy conocida. La tortuga acepta las
proposiciones A y A->B, pero no acepta B (no recuerdo cuáles eran ni es
importante). Lo que Aquiles hace para convencerla es llamar C a A->B y
decir: (A y C)->B. La tortuga acepta esta última proposición, pero sigue sin
aceptar B. El relato termina cuando Aquiles se rinde, después de haber
continuado este proceso hasta llenar varios cuadernos.

Lo que la tortuga necesita para aceptar B es una prueba de que el cálculo
lógico es correcto, pero esto no puede hacerse con el propio cálculo.

[pepet]
El problema que existe en los fundamentos es que desde el teorema de
Gödel se comprobó que en cualquier sistema axiomático que tenga al menos
la complejidad de la aritmética pueden aparecer proposiciones
indecidibles esto es que es imposible demostrar tanto la certeza como
falsedad de una proposición enunciadas según las reglas de formación de
proposiciones de dicho sistema axiomático y durante la demostración del
teorema se comprueba que es muy poco probable que se pueda encontrar un
modelo finito de dicho sistema axiomático con lo que no tendremos nunca
la seguridad de que un sistema axiomático lo suficientemente complejo
como para que sea interesante está libre de contadicciones internas.
saludos pepet

[Goyo]
La incompletitud de las teorías no me parece un problema que afecte a la
estabilidad del edificio. La dificultad de probar su consistencia es algo
más preocupante, pero tampoco demasiado grave. La imposibilidad de mostrar
la corrección del cálculo lógico sin recurrir a algo más que el propio
cálculo lógico sí que me parece un grano en el culo.

Repito que ya sé que este logicismo no es la única forma de ver las
matemáticas. Pero de hecho, a todo el mundo le gusta más una teoría
formalizada y axiomatizada...

[pepet]
Pdata. La única garantía sobre la verdad de las matemáticas es que
después de más de dos milenios usándolo el sistema aximático de Euclides
aún está libre de contradicciones. En otras palabras no podemos estar
seguros de la verdad absoluta de las matemáticas, pero a pesar de todo
funcionan.
resaludos pepet

[Goyo]
Y bastante bien, además. Es un buen argumento para tranquilizar la
conciencia. Pero formalmente deje algo que desear...;-)