RE: Numero Pi

[arteaga@...>]

> Y ahora, me pregunto: ¿Cómo es que no te has dado cuenta, en todo tu
> largo y provechoso aprendizaje, de que las funciones trigonométricas
> TAMBIEN son algo inseparable de la circunferencia y sus propiedades?

        Veo que efectivamente te has perdido en los tecnicismos, asi
que repetire mi argumento yendo mas al grano.

        Es cierto que pi y los circulos son inseparables. Esto es lo
que tu dijiste, y es completamente cierto. Creo que esto ha quedado 
bien claro.

        Pero.

        Esta relacion entre pi y circulos es trivial. Los circulos 
estan tan asociados a pi como a la raiz cuadrada de dos. El numero 17
es tan inseparable de los rectangulos como pi de los circulos.

        Para explicar esto, dejame que vuelva a la anecdota original.
Alguien se sorprende al ver pi en unas formulas de estadistica 
porque no se imagina que haya circulos por ninguna parte. Bueno, pues
resulta que en realidad hay circulos escondidos tras esas formulas.
Para encontrar estos circulos, lo que hacemos es remontarnos hacia
atras en la deduccion de esas formulas, y tarde o temprano, cuando
aparezca pi, por algun lado habra un circulo.

        En el caso que nos ocupa, tenemos un concepto FDNE (formulas 
de la distribucion normal en estadistica) en las que aparece pi, 
que llamaremos concepto P. Estas formulas estan relacionadas con el 
concepto I (integrales) que estan relacionadas con el concepto
CIUCCP (calculo de integrales usando cambio a coordenadas polares)
que a su vez esta relacionado con el concepto C (circulos).

        Y de esta forma sacamos la relacion entre ese pi que aparece 
en esas formulas y un circulo: como P esta relacionado con FDNE,
FDNE esta relacionado con I, I con CIUCCP, y CIUCCP con C, entonces
P esta relacionado con C. Es decir, ese pi que aparece en las 
formulas esta relacionado con unos circulos. En este caso concreto,
el circulo es facil de ver (explicar los detalles seria muy largo, 
pero insisto, esto lo han visto todos los estudiantes de primero de
cualquier ingenieria).

        Pero esta relacion entre el pi que aparece en una formula y 
un circulo escondido en algun sitio no tiene por que ser ni natural, 
ni intuitiva, ni util, ni ilustrativa. Es una relacion que existe de 
una forma trivial, tan solo porque hemos definido pi en terminos de 
circulos, asi que si usamos reglas logicas no podremos jamas usar pi 
de ninguna forma que no este relacionada con circulos. Si somos 
capaces de demostrar algo involucrando pi, podemos darle marcha atras
a la demostracion y encontrar los circulos. Si nuestro problema es lo 
suficientemente complicado, esta relacion entre pi y los circulos sera 
muy oscura, pero siempre existira. Esto es lo que tu decias y es 
completamente cierto.

        Si en vez de definir pi en terminos de circulos lo definimos
en terminos de series, o integrales, o funciones trigonometricas,
entonces pi "deja de" estar asociado de esa forma con los circulos y
"pasa a" estar asociado de esa forma con series, integrales, o
funciones trigonometricas. Simplemente por la misma razon; volvemos
atras en las formulas y llegamos a relacionar cualquier aparicion de
pi con su definicion en terminos de lo que sea.

        Notese el entrecomillado en el parrafo anterior; por supuesto
que pi sigue estando relacionado con circulos, independientemente de
como lo definamos. Pero es que pi tambien esta relacionado con series,
integrales y funciones trigonometricas cuando lo definimos usando 
circulos. No hay ninguna diferencia; es que en matematicas todo esta
relacionado con todo de forma inseparable, y para demostrarlo lo unico
que tienes que hacer es cogerte cualquier entidad matematica y retrazar 
su definicion hasta llegar al concepto de conjunto. De nuevo, estas 
relaciones podran ser mas o menos naturales, interesantes o bonitas, 
pero eso es otra cuestion; la existencia de estas relaciones es
trivial.

        Los ejemplos de apariciones insospechadas de pi que mencionaba
no era para tirarme un pegote, como pareces haber pensado; todo fisico
o ingeniero se ha encontrado esas cosas alguna vez en su vida, con la
posible excepcion del ultimo ejemplo. Los mencionaba porque tu 
parecias poner en duda que pi apareciese en matematicas de una forma 
que no estuviese "muy" relacionada con circulos, y otras personas 
habian puesto en duda que esos ejemplos estuviesen relacionados con 
circulos. Lo que esos ejemplos muestran es que pi siempre esta 
relacionado con circulos, como tu decias, pero que esa relacion puede
ser oscura, retorcida, innatural e irreconocible, como decian los otros.

        Y a pesar de todo esto, tu seguiras pensando que pi esta mas
relacionado con los circulos que la raiz cuadrada de dos. Bueno, si
y no; paremonos a pensarlo. Ese "mas relacionado" quiere decir que
esta relacionado de una forma "mas natural" o "mas obvia" o "mas
intuitiva". De acuerdo, en estos sentidos si parece que pi esta mas
relacionado con los circulos que la raiz de dos, pero hay que hacer 
dos matizaciones:

        1: Los circulos estan relacionados con la raiz de dos de una 
forma muy parecida a como estan relacionados con pi.

        2: Los adjetivos "natural", "obvio" e "intuitivo" no son algo
tan claro como parece a primera vista.

        Me explico.

        Imaginate por un momento que en nuestra cultura no hubiese
aparecido nunca el concepto de "diametro", que es la longitud de un
segmento maximo inscrito dentro del circulo, sino que tuviesemos el
concepto de "chorradorcio", que es la longitud del circulo inscrito en
un cuadrado incrito. Es decir, dado un circulo C, dibuja dentro de el 
un cuadrado, y dentro del cuadrado un circulo; ese circulo pequen~o es 
el chorradorcio de C.

Entonces, nuestra cultura no tendria la famosa formula

        circunferencia = pi * diametro

sino
                           __
        circunferencia = \/ 2 * chorradorcio

Que curioso, ahora de repente la raiz de dos juega el mismo papel que
pi. Con esto pretendo ilustrar la primera matizacion, que los circulos
estan relacionados con la raiz de dos de una forma muy parecida a como
estan relacionados con pi.

        En cuanto a la segunda matizacion, lo siento, pero el 
chorradorcio le gana claramente al diametro. Hazte el dibujo de un 
circulo inscrito dentro de un cuadrado inscrito dentro de otro circulo,
dibuja un par de rectas obvias, y dime si la segunda formula, la que 
tiene el chorradorcio, no es mucho mas "natural", "obvia" e "intuitiva"
que la primera... porque resulta ser una aplicacion trivial del teorema
de Pitagoras, en vez de necesitar ese "dogma" de pi. Es mas, a alguien 
que hubiese crecido usando chorradorcios, la introduccion de pi le 
pareceria una aberracion; piensalo, para que usar ese asqueroso numero 
trascendental si uno puede usar la raiz de dos, que es mucho mas 
elegante?

        Se perfectamente lo que estas pensando: que los chorradorcios
son menos utiles que los diametros. Y tienes toda la razon. Pero como
definimos "util" en matematicas?

        El caso es que no hay ninguna razon matematica para decir que
pi esta mas relacionado con los circulos que la raiz de dos; las
razones son unicamente culturales, desde pequen~itos hemos aprendido
las cosas de esa forma, y esta es la razon por la que detras de una
aparicion de pi buscamos (y encontramos) circulos en vez de cuadrados
circunscritos en circulos, o series, o integrales. No me 
malinterpretes, yo tambien estoy seguro de que una "inteligencia
neutra" preferiria usar los diametros a los chorradorcios porque los
encontraria mas "naturales" y "utiles". Lo que estoy diciendo es que
pi esta tan inseparablemente relacionado con los circulos como lo esta
la raiz de dos, y que la existencia de ambas relaciones es trivial.



> Pero cuando veo un número Pi  cerca, me pongo contento porque ya sé que,
> de una forma u otra -y sin retorcer nada "contra natura"- podré comprender
> el meollo de la cuestión, imaginándome el problema en términos espaciales.

        Menos lobos. Explicame la formula de Stirling en terminos 
espaciales; te recuerdo que el factorial de un numero n es
n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 3 * 2 * 1   , y que esta formula dice 
que si n es grande entonces, aproximadamente,

                n    ________
               n   \/ 2 pi n
  n!   =~    -----------------
                     n
                    e

Esto es precisamente lo que estoy intentando decirte: la relacion existe
automaticamente, pero no tiene por que ser ni natural ni clara ni obvia ni
util. Entonces, a pesar de que es cierto que pi es inseparable de los 
circulos, resulta que lo mismo le ocurre a cualquier otro numero, y por 
lo tanto esta inseparabilidad es trivial.

        Espero que esta vez las cosas hayan quedado mas claras, porque
debo tener contento al resto de la lista con estos rollos  :)  Saludos,

        Santi