[escepticos] Re: [escepticos] Re: [escepticos] Soy crédulo, era: No soy escéptico (César)

["Goyo" <goyodiaz@...>]

----- Mensaje original -----
De: "Jorge Javier Frías Perles" <jjfrias en hotmail.com>
Para: <escepticos en ccdis.dis.ulpgc.es>
Enviado: jueves, 01 de febrero de 2001 22:23
Asunto: [escepticos] Re: [escepticos] Re: [escepticos] Soy crédulo, era: No
soy escéptico (César)


Con permiso de l en s colister en s matemáticos (lo que digo a continuación está
sujeto a vuestro análisis y corrección):

Creo que estamos confundiendo la definición de una estructura algebraica
formada por un conjunto de números y el operador binario suma, con el
algoritmo de realizar una sumar con un sistema de numeración dado (como el
decimal).

[Goyo]
No creo que haya confusión. La definición que se dio de la suma de naturales
utilizaba la notación que suele verse en una exposición axiomática de la
aritmética. El algoritmo empleado normalmente para sumar naturales escritos
en base 10 es equivalente a esa definición. La definición que yo di para la
suma de reales se basa en la suma de racionales (aunque esta última no la
definí) y no depende de ninguna notación en particular.

[JJ]
Respecto al primero, creo recordar que (Z,+) es semigrupo conmutativo, esto
es, que es cerrado (toda suma de números naturales es un número natural),
tiene elemento neutro (el cero) y posee las propiedades asociativas y
conmutativas (mucho rollo eh???). El método que usemos para sumar no nos
interesaría (por eso se pone m+n= f(m,n))

[Goyo]
(N,+) verifica las propiedades que enuncias ((Z,+) verifica además que todo
elemento tiene inverso, luego es un grupo conmutativo), pero no son
suficientes para caracterizarlo. Hay otros semigrupos conmutativos que no
son (N,+) y otros grupos conmutativos que no son (Z,+). De manera que sí nos
interesa la forma de sumar, y también el cardinal del conjunto.

[JJ]
Sin embargo, el proceso de realizar una suma en base n es un método
algorítmico que se puede describir formalmente con máquina de Turing,
Lambda-cálculo o incluso algoritmos celulares. Es decir, con un programa.

En el caso de un sistema n-ario (por ejemplo base 10), la función f viene
dada por la "tabla" de las nxn posibles combinaciones de los dígitos (es
decir, la "tabla de sumar"). Si esto es una matriz M, el elemento Mij es el
resultado de sumar i+j. Ojo: Además, hay que indicar las situaciones en que
ocurre el "acarreo" (es decir: aquello de "me llevo una"). Para otros
conjuntos hay que añadir nuevas reglas (por ejemplo, empezar por el punto
decimal hacia izquierda y derecha)

Hay algoritmos de suma particulares de ciertos sistemas de numeración. Por
ejemplo, en el sistema 1-ario, donde sólo tenemos un símbolo "|",
representamos los números de la siguiente forma:

     0  |
     1  ||
     2  |||
     3  ||||
      ...

La suma de dos números en este sistema consistiría en concatenar los dos
números y quitar uno de los palotes:
        3 + 4 =  |||| + ||||| =  ||||||||  = 7

[Goyo]
Esto vale para los naturales, los enteros y los racionales. Pero los números
reales no pueden escribirse en general mediante una cadena finita de
dígitos, sólo aproximaciones, que son en realidad números racionales. Por lo
tanto tampoco hay un algoritmo para sumar números reales.

[JJ]
Saludos pesado-matemáticos

Jorge J. Frías

PD: ¿os habeis dormido ya? ¿he metido la pata? ¿Me tenía que haber ido a
otra lista? ¿a algún rincón en particular? ;-)

[Goyo]
Pues qué se yo, pero no he podido evitar la tentación de seguir el hilo.

Un saludo

Goyo