Re: Numero Pi

[arteaga@...>]

> [FM] Necesito ayuda de algun experto para explicar al senyor MIG que, en
> contra de lo que el asegura,  el numero Pi  es algo inseparable de y solo
> de la circunferencia.

	Suerte! Te hara falta para encontrarlo.

	Es cierto que casi siempre que te encuentras con pi puedes
retorcer las cosas hasta que aparezca un circulo. Por ejemplo, en
la citada formula de Euler, se puede explicar que e^(i*pi) sea -1
dibujando un circulo en el plano complejo y poniendo un angulo de 
taman~o pi que cae sobre el -1, y bla bla bla... sabeis a lo que
me refiero, ?no?  Por otra parte, pi aparece en las formulas de
estadistica sobre la distribucion normal a traves de la integral

 / infinito       2
 |              -x           ___
 |            e     dx  =  \/ pi
 |
 / -infinito

que en principio no tiene nada que ver con circulos, hasta que intentas
calcular esa integral usando el famoso truco del cambio a coordenadas 
polares y zas, ahi aparece 2pi como el angulo de una revolucion entera.
De forma parecida, en la demostracion de la formula de Stirling 
aparecen funciones trigonometricas que probablemente se podrian 
manipular contra natura hasta el extremo de interpretarlas como algo 
relacionado con un circulo.
	Y seguire haciendo de abogado del diablo y mencionare otros
sitios donde aparece pi "magicamente" pero esta relacionado con
circulos: 

	1) en las funciones de Green para resolver las ecuaciones 
	   diferenciales mas comunes, donde es obvio que los circulos
	   o esferas implicados son los dominios de integracion;

	2) el minimo autovalor de matrices como

		 2 -1  0  0  0  0  0  0
		-1  2 -1  0  0  0  0  0
		 0 -1  2 -1  0  0  0  0
		 0  0 -1  2 -1  0  0  0
		 0  0  0 -1  2 -1  0  0
		 0  0  0  0 -1  2 -1  0
		 0  0  0  0  0 -1  2 -1
		 0  0  0  0  0  0 -1  2

	   resulta ser  (pi/n)^2  donde n es el numero de filas de la
	   matriz. Este ejemplo puede parecer muy retorcido, pero 
	   resulta que se han escrito libros enteros sobre estos 
	   problemas (que he metido que empollarme) porque estas 
	   matrices aparecen al resolver ecuaciones diferenciales 
	   usando el metodo de los elementos finitos, y el minimo
	   autovalor resulta ser muy importante para un monton de
	   problemas. 
	   Ah, pero pi aparece de nuevo a traves de senos y cosenos
	   que estan relacionados con las soluciones fundamentales
	   de esas ecuaciones diferenciales... de nuevo tenemos las
	   funciones trigonometricas detras de la aparicion!

	3) Un ejemplo de teoria de numeros: sea r(n) el numero de
	   formas en que un entero n se puede escribir como suma de
	   dos cuadrados; por ejemplo, r(25)=12 porque 25=0^2+5^2,
	   25=0^2+(-5)^2, 25=5^2+0^2, 25=3^2+4^2, ...etc. 
	   Bueno, ahora sumamos r(n) para todos los valores de n 
	   entre 0 y, digamos, 100. Cual es el resultado?  Pues, muy
	   aproximadamente, 100*pi !
	   Ah, pero el circulo existe: resulta que si asocias cada una
	   de esas formas de escribir todos los numeros como 
	   25=3^2+(-4)^2 con puntos como (3,-4) entonces muy
	   aproximadamente rellenas con estos puntos un circulo de
	   radio raiz(100), asi que el numero de puntos tiene que ser
	   100*pi  (piensalo un poco).

	Despues de esto deberia estar claro que en matematicas pi te 
salta por donde menos te lo esperas, y que si te comes el tarro casi
siempre acabaras encontrando algo vagamente relacionado con un 
circulo.
	Y sin embargo, estoy muy poco de acuerdo con tu frase de 
arriba... no, no estoy loco.
	Mira, en teoria de numeros pasa algo parecido, pero no con pi
sino con la funcion zeta de Riemann: aparece insospechadamente en 
todas partes sin que nadie la haya invitado. Por que? Pues porque la
mitad de los problemas en teoria de numeros tienen alguna relacion con
los numeros primos. Pero claro, como la mayoria de los mortales jamas
han oido hablar de Riemann ni de su funcion zeta, pues resulta que a
nadie le impresiona.
	Bueno, pues muchisimos problemas en matematicas tienen alguna
relacion con las funciones trigonometricas o exponenciales  (que si 
has estudiado variable compleja resultan ser dos aspectos de la misma
cosa)  y por tanto se nos acaba colando pi. Da igual que esos problemas
tengan algo que ver con un circulo o no: !!!!es que si has definido pi
como el perimetro de un circulo dividido por su diametro, no es 
ninguna casualidad que cada vez que te aparezca pi haya indirectamente
algun circulo involucrado!!!!  
	Es una cuestion de definiciones, o de hermeneutica. Si defines 
2pi como el periodo de la funcion seno, de repente ya no es cierto que
detras de pi haya siempre algun circulo, sino que ahora habran 
funciones trigonometricas. Y si defines 
                     1   1   1   1    1    1    1  
	pi = 4*( 1 - - + - - - + - - -- + -- - - + ... )
                     3   5   7   9   11   13   15
de repente todas esas apariciones magicas de pi dejan de estar
relacionadas con circulos y pasan a estar relacionadas con sumas 
infinitas, entre otras cosas porque de repente la relacion entre pi y 
los circulos resulta a su vez ser explicada en terminos de series. 
	Repito, no hay nada de magico; es tan solo que primero defines 
pi de alguna forma y despues construyes el edificio logico de las
matematicas acarreando contigo esa definicion de forma implicita a
cada paso. Como todos nosotros hemos visto de pequen~itos que pi se
define en terminos de circulos, cada vez que aparece pi buscamos un
circulo, y con frecuencia lo encontramos; pero tambien podriamos
buscar funciones trigonometricas o series y, con frecuencia, tambien
las encontrariamos (existir, existen... las podemos encontrar o no)

	En breve: encontramos lo que buscamos porque estamos 
predispuestos a una forma concreta de "interpretar" las matematicas. 
Los circulos estan relacionados de forma tan inseparable a la raiz
cuadrada de dos como a pi, pero a nadie se le ocurre ponerse a buscar
raices de 2 en circulos.
	Vaya rollo... lo siento,

	Santi