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Re: [escepticos] RE Montañas sumergidas (Luis Carlos Cobo)



Muchísimas gracias por una respuesta tan detallada. La respuesta a mi en
concreto era más o menos como la imaginaba, pero de paso has solucionado
otras dudas (algunas de las cuales no me había planteado aún).

Así da gusto.

El lun, 08-08-2005 a las 15:36 +0200, Jose Ramón Brox escribió:
> <<Aviso: mensaje largo y lleno de teoría>>
> 
> ----- Original Message ----- 
> From: "Luis Carlos Cobo" <luisca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>
> 
> Se me ocurre que un ejemplo parecido a una montaña submarina sería uno
> de esos acuarios para tortugas con una islita en medio, todo hecho de
> una lámina de plástico (de manera que la islita es hueca por dentro).
> Cuanto más grande se haga la isla, su densidad irá tendiendo a la del
> aire, y el volúmen desplazado sería mayor. ¿Llegaría el momento en que
> la isla saldría disparada hacia arriba?
> -----------------------------------------
> 
> Hola Luis:
> 
> Voy a tratar de explicar cómo funciona la hidrostática para que pensemos lo que planteas.
> Lo primero que tenemos es un fluido, en este caso agua, en situación de reposo; es decir, 
> ninguna masa de agua se mueve y si le producimos movimiento nosotros es muy lento o en una 
> zona de tamaño poco significativo (de manera que la situación global siga siendo de fluido 
> estático y los errores cometidos por la aproximación V_fluido = 0 sean despreciables). Ese 
> fluido está contenido en un volumen fijo aunque sea arbitrariamente grande (si no, 
> tendería a expandirse y no habría fluidostática). En esas condiciones, la presión del 
> líquido en un punto es la misma en todas direcciones, por lo que podemos olvidarnos de que 
> la presión es un vector y hablar de presión escalar (en un punto sólo nos fijamos en el 
> módulo y asumimos que hay presión en cualquier dirección). Esto es consecuencia de la 
> fluidostática: si la presión no fuera uniforme en todas direcciones, se producirían 
> corrientes que harían que la velocidad del fluido no fuera 0, así que si el líquido está 
> parado, se tiene que cumplir. Además, si no hay campo gravitatorio, aunque aumente la 
> profundidad, la presión se mantiene, es decir, en cada punto el módulo de la presión sería 
> el mismo independientemente de la profundidad.
> 
> Lo segundo que tenemos es un campo gravitatorio uniforme de aceleración g (el de la 
> Tierra). Esto hace que las masas de agua que están más arriba ejerzan un peso sobre las 
> que están más abajo (lo que se suele llamar "el peso de la columna de agua"). Las que 
> están más abajo, para soportar dicho peso, generan más presión. De esta forma, cuanto más 
> profunda esté una masa de agua, más presión ejercerá. Como seguimos en fluidostática, la 
> presión en un punto sigue ejerciéndose en todas direcciones por igual (el módulo aumenta 
> con la profundidad del punto). La fórmula de la presión es exactamente p = p0 + r*g*h , 
> donde p0 es la presión atmosférica, h es la profundidad y r es la densidad del líquido*. 
> Como los líquidos son casi incompresibles, podemos suponer r constante, pero si tenemos 
> mucha mucha profundidad y queremos hacer un cálculo exacto deberemos tener en cuenta que r 
> es ligeramente dependiente de h porque la densidad varía por ligera compresión (es mucho 
> el peso de la masa de agua sobre ella).
> 
> * Esta fórmula es válida para líquidos en general, pero no para gases ni para líquidos 
> fácilmente compresibles.
> 
> Bien, ahora pensemos con física newtoniana básica. La presión en un líquido tiene casi la 
> misma interpretación que la presión clásica: fuerza por unidad de superficie que ejercería 
> sobre una superficie que estuviera en contacto con él. La única diferencia estriba en que 
> si no hay superficie que se interponga, el fluido no deja de tener presión; pero 
> probablemente se expandirá, disminuyendo su presión hasta que se encuentre con una 
> superficie o se quede en una situación de presión, temperatura y volumen estables como 
> ocurre si lo confina un campo gravitatorio, como es el caso del aire de la atmósfera 
> terrestre.
> 
> Bueno, pues sabemos que el líquido ejerce una presión en todas direcciones que es 
> dependiente de la profundidad (cuanto más profundo, más presión, aumentando linealmente 
> con coeficiente r*g). Si sumergimos* un cubo de lado L de forma perpendicular al suelo a 
> una profundidad P, su cara superior estará sometida a una presión p1 = p0 + r*g*P, 
> mientras que su cara inferior estará sometida a una presión p2 = p0 + r*g*(P+L) . Eso 
> quiere decir que la cara superior está sometida a una fuerza F1 = p1*S1 = p1*L^2 mientras 
> que la cara inferior está sometida a una fuerza F2 = p2*S2 = p1*L^2 . Como F2 es mayor que 
> F1, la suma de las fuerzas da como resultado una fuerza con módulo F2-F1 y el sentido de 
> F2. Hemos de notar que F1 es una fuerza hacia abajo, sumada a la gravedad mientras que F2 
> es una fuerza hacia arriba, opuesta a la gravedad. ¿Por qué? Porque la presión del fluido 
> es siempre perpendicular a las superficies y actúa contra ellas, porque suponemos 
> fluidostática y además el fluido tiende a llenar todo el espacio disponible. Pues bien, en 
> este caso el empuje del líquido es Ft = F2-F1 = L^2*(p2-p1) = L^2 * r*g*L = L^3 *r*g = Vc 
> * r * g (Vc, volumen del cubo).
> 
> *Tomaremos en este desarrollo "sumergir a profundidad P" como "situar el punto más alto 
> del objeto a profundidad P".
> 
> ¿Flotaría o se hundiría? Pues bien, no hay más que comparar la fuerza de empuje o 
> sustentación con la fuerza gravitatoria, que será Fp = m*g, donde m es la masa del cubo. 
> Para que flote tiene que ocurrir Ft >= Fp, o sea, Vc*r*g >= mg --> m / Vc <= r . La masa 
> del cubo partida por su volumen tiene que ser menor que la densidad del agua. Esto es, la 
> densidad del cubo tiene que ser menor que la del fluido en el que se sumerge. Este 
> principio sigue siendo válido si se usan integrales para cuerpos de superficies 
> arbitrarias en lugar de un simple cubo. Nótese que hemos derivado esto a partir de la 
> ecuación fundamental de la hidrostática, y por tanto hemos de restringirnos a las 
> suposiciones de la hidrostática más las suposiciones que hemos hecho por el camino, si 
> queremos utilizarlo.
> 
> ¿Cómo podríamos mejorar la sustentación del cubo? Hemos visto que la sustentación viene de 
> la resta de dos fuerzas, la de la presión del agua en la cara superior y la de la presión 
> del agua en la cara inferior. Como la presión inferior es mayor debido a la influencia del 
> campo gravitatorio, hay empuje ascendente. Pero la fuerza de presión no depende únicamente 
> de la presión ejercida. ¡También depende de la superficie sobre la que se ejerza! 
> Entonces, si la superficie superior es menor que la inferior, la diferencia entre las 
> fuerzas se incrementará y el empuje ascendente será mayor. Imaginemos por ejemplo una 
> superficie cuadrada de lado 1 (la superior), que está unida mediante planos prácticamente 
> perpendiculares al suelo a otra superficie cuadrada de lado 10 (la inferior). Para que los 
> planos laterales que cierran el "prisma" (en realidad es una pirámide cuadrada truncada) 
> sean prácticamente perpendiculares hay que darles una longitud grande, pongamos que fuera 
> 20. Entonces ese cuerpo, sumergido a profundidad P, sufriría un empuje ascendente de Ft = 
> F2-F1 = 10^2*(p0+r*g*(P+20)) - 1^2(p0+r*g*P) = 99p0 + 99rgP + 2000rg, que es mayor que si 
> se tomara la superficie superior de lado 10 (igual que la inferior) y se mantuviera todo 
> lo demás: en ese caso, la fuerza total sería Ft2 = 2000rg; la diferencia de empujes es 
> Ft - Ft2 = 99p0 + 99rgP, que contiene un término dependiente de la profundidad. Cuanto más 
> profundo esté este "prisma", más sobreempuje tenderá a tener respecto a si tuviera iguales 
> las dos caras. Es decir, su resistencia a ser sumergido depende de la profundidad
> 
> ¿Qué pasa si el cuerpo está medio sumergido? Que su cara superior no tiene masa de agua 
> por encima, por tanto la fuerza de presión ejercida sobre su cara superior sólo depende de 
> la masa de aire sobre ella, que tiene una presión p0 (la atmosférica). Ft = F2-F1 = F2 - 
> S1*r*g*p0.
> 
> ¿Qué pasa si el cuerpo está en contacto total con el fondo? Que su cara inferior no tiene 
> masa de agua por debajo, así que no hay fuerza de presión ejercida sobre su cara inferior 
> y Ft = F2 - F1 = 0 - F1 = -F1. Nos sale una fuerza de sustentación negativa, lo que quiere 
> decir que sólo hay una fuerza que ayuda a la gravedad (el peso de la columna de agua sobre 
> el cuerpo).
> 
> El caso de la isla: imagínese como un cono hueco, está la superficie lateral pero no están 
> ni la tapa superior ni la inferior. Las fuerzas de presión que ayudan a la gravedad se dan 
> en la parte de fuera del "volcán", mientras que las que van en contra de la gravedad se 
> dan en la parte de dentro. El ángulo de incidencia es el mismo y la cantidad de superficie 
> sobre la que se aplican también, así que se cancelarán sus efectos, EXCEPTO el de la 
> diferencia de profundidad, que es muy poca y depende del grosor del material que compone 
> la superficie lateral del cono. Salvo que me esté equivocando en algo, este objeto se 
> hundiría debido a la gravedad, salvo que el grosor sea tal que haya suficiente 
> sustentación por diferencia de profundidad y la masa no aumente tanto como para evitarlo.
> 
> Por último, ¿existiría algún objeto que pudiera llegar a salir disparado hacia arriba? En 
> general, la fuerza del empuje no puede sino disminuir conforme el objeto sube y cuando 
> llegara a la superficie, si diera un pequeño saltito se encontraría a presión atmosférica 
> en todos los puntos (incluso por debajo) y dejaría de haber fuerza de empuje. Pero si en 
> el agua la fuerza de empuje ha sido la suficiente como para vencer con creces la gravedad 
> durante un rato, podría ocurrir que saltara bastante en el aire el objeto.
> Y ya hilando más fino: si el objeto no es sólo un flotador acuático, sino que es también 
> un flotador aéreo, entonces sí: ten en cuenta que la sustentación sigue valiendo en el 
> aire y la presión es variable con la altura (aunque no con la fórmula de la presión 
> hidrostática porque el aire se comprime y la densidad varía con la altura), existen 
> fuerzas de empuje debido a que a nivel de tierra hay más presión que más arriba (por el 
> peso de la columna de aire), por lo que si el objeto es tal que la fuerza sustentadora del 
> aire es mayor que la gravitatoria, echará a volar hasta que llegue a un punto en el que la 
> presión atmosférica haga disminuir la fuerza sustentadora hasta hacerse igual a la 
> gravitatoria. Si introduces uno de esos objetos en el mar, saldrá disparado hacia arriba 
> por la fuerza sustentadora hidrostática, saltará la superficie del mar y entrará en acción 
> la fuerza sustentadora aerostática y flotará hasta determinado punto en la atmósfera. Otro 
> asunto es que para sumergir el objeto hay que hacer una fuerza tal que sumada a la 
> gravedad venza la fuerza sustentadora hidrostática, y eso puede ser más o menos 
> complicado. Por ejemplo, si intentas hundir un globo de helio, si no haces fuerza por 
> igual en toda la superficie, rápidamente se crea un giro que impide que se hunda, debido 
> al par de fuerzas mano-sustentación.
> 
> Uf. Pues yo creo que así debe quedar todo bastante claro.
> 
> Un saludo y espero que os haya resultado instructivo (si no conocíais la materia) o que no 
> encontréis demasiados fallos (si sí conocíais la materia).
> 
> Jose Brox 
-- 
 
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(O,O)
(   )           Luis Carlos Cobo Rus            - luisca -
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