Muchísimas gracias por una respuesta tan detallada. La respuesta a mi en concreto era más o menos como la imaginaba, pero de paso has solucionado otras dudas (algunas de las cuales no me había planteado aún). Así da gusto. El lun, 08-08-2005 a las 15:36 +0200, Jose Ramón Brox escribió: > <<Aviso: mensaje largo y lleno de teoría>> > > ----- Original Message ----- > From: "Luis Carlos Cobo" <luisca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx> > > Se me ocurre que un ejemplo parecido a una montaña submarina sería uno > de esos acuarios para tortugas con una islita en medio, todo hecho de > una lámina de plástico (de manera que la islita es hueca por dentro). > Cuanto más grande se haga la isla, su densidad irá tendiendo a la del > aire, y el volúmen desplazado sería mayor. ¿Llegaría el momento en que > la isla saldría disparada hacia arriba? > ----------------------------------------- > > Hola Luis: > > Voy a tratar de explicar cómo funciona la hidrostática para que pensemos lo que planteas. > Lo primero que tenemos es un fluido, en este caso agua, en situación de reposo; es decir, > ninguna masa de agua se mueve y si le producimos movimiento nosotros es muy lento o en una > zona de tamaño poco significativo (de manera que la situación global siga siendo de fluido > estático y los errores cometidos por la aproximación V_fluido = 0 sean despreciables). Ese > fluido está contenido en un volumen fijo aunque sea arbitrariamente grande (si no, > tendería a expandirse y no habría fluidostática). En esas condiciones, la presión del > líquido en un punto es la misma en todas direcciones, por lo que podemos olvidarnos de que > la presión es un vector y hablar de presión escalar (en un punto sólo nos fijamos en el > módulo y asumimos que hay presión en cualquier dirección). Esto es consecuencia de la > fluidostática: si la presión no fuera uniforme en todas direcciones, se producirían > corrientes que harían que la velocidad del fluido no fuera 0, así que si el líquido está > parado, se tiene que cumplir. Además, si no hay campo gravitatorio, aunque aumente la > profundidad, la presión se mantiene, es decir, en cada punto el módulo de la presión sería > el mismo independientemente de la profundidad. > > Lo segundo que tenemos es un campo gravitatorio uniforme de aceleración g (el de la > Tierra). Esto hace que las masas de agua que están más arriba ejerzan un peso sobre las > que están más abajo (lo que se suele llamar "el peso de la columna de agua"). Las que > están más abajo, para soportar dicho peso, generan más presión. De esta forma, cuanto más > profunda esté una masa de agua, más presión ejercerá. Como seguimos en fluidostática, la > presión en un punto sigue ejerciéndose en todas direcciones por igual (el módulo aumenta > con la profundidad del punto). La fórmula de la presión es exactamente p = p0 + r*g*h , > donde p0 es la presión atmosférica, h es la profundidad y r es la densidad del líquido*. > Como los líquidos son casi incompresibles, podemos suponer r constante, pero si tenemos > mucha mucha profundidad y queremos hacer un cálculo exacto deberemos tener en cuenta que r > es ligeramente dependiente de h porque la densidad varía por ligera compresión (es mucho > el peso de la masa de agua sobre ella). > > * Esta fórmula es válida para líquidos en general, pero no para gases ni para líquidos > fácilmente compresibles. > > Bien, ahora pensemos con física newtoniana básica. La presión en un líquido tiene casi la > misma interpretación que la presión clásica: fuerza por unidad de superficie que ejercería > sobre una superficie que estuviera en contacto con él. La única diferencia estriba en que > si no hay superficie que se interponga, el fluido no deja de tener presión; pero > probablemente se expandirá, disminuyendo su presión hasta que se encuentre con una > superficie o se quede en una situación de presión, temperatura y volumen estables como > ocurre si lo confina un campo gravitatorio, como es el caso del aire de la atmósfera > terrestre. > > Bueno, pues sabemos que el líquido ejerce una presión en todas direcciones que es > dependiente de la profundidad (cuanto más profundo, más presión, aumentando linealmente > con coeficiente r*g). Si sumergimos* un cubo de lado L de forma perpendicular al suelo a > una profundidad P, su cara superior estará sometida a una presión p1 = p0 + r*g*P, > mientras que su cara inferior estará sometida a una presión p2 = p0 + r*g*(P+L) . Eso > quiere decir que la cara superior está sometida a una fuerza F1 = p1*S1 = p1*L^2 mientras > que la cara inferior está sometida a una fuerza F2 = p2*S2 = p1*L^2 . Como F2 es mayor que > F1, la suma de las fuerzas da como resultado una fuerza con módulo F2-F1 y el sentido de > F2. Hemos de notar que F1 es una fuerza hacia abajo, sumada a la gravedad mientras que F2 > es una fuerza hacia arriba, opuesta a la gravedad. ¿Por qué? Porque la presión del fluido > es siempre perpendicular a las superficies y actúa contra ellas, porque suponemos > fluidostática y además el fluido tiende a llenar todo el espacio disponible. Pues bien, en > este caso el empuje del líquido es Ft = F2-F1 = L^2*(p2-p1) = L^2 * r*g*L = L^3 *r*g = Vc > * r * g (Vc, volumen del cubo). > > *Tomaremos en este desarrollo "sumergir a profundidad P" como "situar el punto más alto > del objeto a profundidad P". > > ¿Flotaría o se hundiría? Pues bien, no hay más que comparar la fuerza de empuje o > sustentación con la fuerza gravitatoria, que será Fp = m*g, donde m es la masa del cubo. > Para que flote tiene que ocurrir Ft >= Fp, o sea, Vc*r*g >= mg --> m / Vc <= r . La masa > del cubo partida por su volumen tiene que ser menor que la densidad del agua. Esto es, la > densidad del cubo tiene que ser menor que la del fluido en el que se sumerge. Este > principio sigue siendo válido si se usan integrales para cuerpos de superficies > arbitrarias en lugar de un simple cubo. Nótese que hemos derivado esto a partir de la > ecuación fundamental de la hidrostática, y por tanto hemos de restringirnos a las > suposiciones de la hidrostática más las suposiciones que hemos hecho por el camino, si > queremos utilizarlo. > > ¿Cómo podríamos mejorar la sustentación del cubo? Hemos visto que la sustentación viene de > la resta de dos fuerzas, la de la presión del agua en la cara superior y la de la presión > del agua en la cara inferior. Como la presión inferior es mayor debido a la influencia del > campo gravitatorio, hay empuje ascendente. Pero la fuerza de presión no depende únicamente > de la presión ejercida. ¡También depende de la superficie sobre la que se ejerza! > Entonces, si la superficie superior es menor que la inferior, la diferencia entre las > fuerzas se incrementará y el empuje ascendente será mayor. Imaginemos por ejemplo una > superficie cuadrada de lado 1 (la superior), que está unida mediante planos prácticamente > perpendiculares al suelo a otra superficie cuadrada de lado 10 (la inferior). Para que los > planos laterales que cierran el "prisma" (en realidad es una pirámide cuadrada truncada) > sean prácticamente perpendiculares hay que darles una longitud grande, pongamos que fuera > 20. Entonces ese cuerpo, sumergido a profundidad P, sufriría un empuje ascendente de Ft = > F2-F1 = 10^2*(p0+r*g*(P+20)) - 1^2(p0+r*g*P) = 99p0 + 99rgP + 2000rg, que es mayor que si > se tomara la superficie superior de lado 10 (igual que la inferior) y se mantuviera todo > lo demás: en ese caso, la fuerza total sería Ft2 = 2000rg; la diferencia de empujes es > Ft - Ft2 = 99p0 + 99rgP, que contiene un término dependiente de la profundidad. Cuanto más > profundo esté este "prisma", más sobreempuje tenderá a tener respecto a si tuviera iguales > las dos caras. Es decir, su resistencia a ser sumergido depende de la profundidad > > ¿Qué pasa si el cuerpo está medio sumergido? Que su cara superior no tiene masa de agua > por encima, por tanto la fuerza de presión ejercida sobre su cara superior sólo depende de > la masa de aire sobre ella, que tiene una presión p0 (la atmosférica). Ft = F2-F1 = F2 - > S1*r*g*p0. > > ¿Qué pasa si el cuerpo está en contacto total con el fondo? Que su cara inferior no tiene > masa de agua por debajo, así que no hay fuerza de presión ejercida sobre su cara inferior > y Ft = F2 - F1 = 0 - F1 = -F1. Nos sale una fuerza de sustentación negativa, lo que quiere > decir que sólo hay una fuerza que ayuda a la gravedad (el peso de la columna de agua sobre > el cuerpo). > > El caso de la isla: imagínese como un cono hueco, está la superficie lateral pero no están > ni la tapa superior ni la inferior. Las fuerzas de presión que ayudan a la gravedad se dan > en la parte de fuera del "volcán", mientras que las que van en contra de la gravedad se > dan en la parte de dentro. El ángulo de incidencia es el mismo y la cantidad de superficie > sobre la que se aplican también, así que se cancelarán sus efectos, EXCEPTO el de la > diferencia de profundidad, que es muy poca y depende del grosor del material que compone > la superficie lateral del cono. Salvo que me esté equivocando en algo, este objeto se > hundiría debido a la gravedad, salvo que el grosor sea tal que haya suficiente > sustentación por diferencia de profundidad y la masa no aumente tanto como para evitarlo. > > Por último, ¿existiría algún objeto que pudiera llegar a salir disparado hacia arriba? En > general, la fuerza del empuje no puede sino disminuir conforme el objeto sube y cuando > llegara a la superficie, si diera un pequeño saltito se encontraría a presión atmosférica > en todos los puntos (incluso por debajo) y dejaría de haber fuerza de empuje. Pero si en > el agua la fuerza de empuje ha sido la suficiente como para vencer con creces la gravedad > durante un rato, podría ocurrir que saltara bastante en el aire el objeto. > Y ya hilando más fino: si el objeto no es sólo un flotador acuático, sino que es también > un flotador aéreo, entonces sí: ten en cuenta que la sustentación sigue valiendo en el > aire y la presión es variable con la altura (aunque no con la fórmula de la presión > hidrostática porque el aire se comprime y la densidad varía con la altura), existen > fuerzas de empuje debido a que a nivel de tierra hay más presión que más arriba (por el > peso de la columna de aire), por lo que si el objeto es tal que la fuerza sustentadora del > aire es mayor que la gravitatoria, echará a volar hasta que llegue a un punto en el que la > presión atmosférica haga disminuir la fuerza sustentadora hasta hacerse igual a la > gravitatoria. Si introduces uno de esos objetos en el mar, saldrá disparado hacia arriba > por la fuerza sustentadora hidrostática, saltará la superficie del mar y entrará en acción > la fuerza sustentadora aerostática y flotará hasta determinado punto en la atmósfera. Otro > asunto es que para sumergir el objeto hay que hacer una fuerza tal que sumada a la > gravedad venza la fuerza sustentadora hidrostática, y eso puede ser más o menos > complicado. Por ejemplo, si intentas hundir un globo de helio, si no haces fuerza por > igual en toda la superficie, rápidamente se crea un giro que impide que se hunda, debido > al par de fuerzas mano-sustentación. > > Uf. Pues yo creo que así debe quedar todo bastante claro. > > Un saludo y espero que os haya resultado instructivo (si no conocíais la materia) o que no > encontréis demasiados fallos (si sí conocíais la materia). > > Jose Brox -- ,_, (O,O) ( ) Luis Carlos Cobo Rus - luisca - -"-"-------------------------------------------------------------- ! luisca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ! ! ! ! Jabber: pikolobreakout@xxxxxxxxxx ICQ: 153036636 ! ! GnuPG ID: 44019B60 ! !gñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñgñ! ! Powered by Gentoo GNU/LiNUX ! ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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