[escepticos] RE Montañas sumergidas (Luis Carlos Cobo)

[Jose Ramón Brox <ambroxius@xxxxxxxx>]

<<Aviso: mensaje largo y lleno de teoría>>

----- Original Message ----- 
From: "Luis Carlos Cobo" <luisca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>

Se me ocurre que un ejemplo parecido a una montaña submarina sería uno
de esos acuarios para tortugas con una islita en medio, todo hecho de
una lámina de plástico (de manera que la islita es hueca por dentro).
Cuanto más grande se haga la isla, su densidad irá tendiendo a la del
aire, y el volúmen desplazado sería mayor. ¿Llegaría el momento en que
la isla saldría disparada hacia arriba?
-----------------------------------------

Hola Luis:

Voy a tratar de explicar cómo funciona la hidrostática para que pensemos lo que planteas.
Lo primero que tenemos es un fluido, en este caso agua, en situación de reposo; es decir, 
ninguna masa de agua se mueve y si le producimos movimiento nosotros es muy lento o en una 
zona de tamaño poco significativo (de manera que la situación global siga siendo de fluido 
estático y los errores cometidos por la aproximación V_fluido = 0 sean despreciables). Ese 
fluido está contenido en un volumen fijo aunque sea arbitrariamente grande (si no, 
tendería a expandirse y no habría fluidostática). En esas condiciones, la presión del 
líquido en un punto es la misma en todas direcciones, por lo que podemos olvidarnos de que 
la presión es un vector y hablar de presión escalar (en un punto sólo nos fijamos en el 
módulo y asumimos que hay presión en cualquier dirección). Esto es consecuencia de la 
fluidostática: si la presión no fuera uniforme en todas direcciones, se producirían 
corrientes que harían que la velocidad del fluido no fuera 0, así que si el líquido está 
parado, se tiene que cumplir. Además, si no hay campo gravitatorio, aunque aumente la 
profundidad, la presión se mantiene, es decir, en cada punto el módulo de la presión sería 
el mismo independientemente de la profundidad.

Lo segundo que tenemos es un campo gravitatorio uniforme de aceleración g (el de la 
Tierra). Esto hace que las masas de agua que están más arriba ejerzan un peso sobre las 
que están más abajo (lo que se suele llamar "el peso de la columna de agua"). Las que 
están más abajo, para soportar dicho peso, generan más presión. De esta forma, cuanto más 
profunda esté una masa de agua, más presión ejercerá. Como seguimos en fluidostática, la 
presión en un punto sigue ejerciéndose en todas direcciones por igual (el módulo aumenta 
con la profundidad del punto). La fórmula de la presión es exactamente p = p0 + r*g*h , 
donde p0 es la presión atmosférica, h es la profundidad y r es la densidad del líquido*. 
Como los líquidos son casi incompresibles, podemos suponer r constante, pero si tenemos 
mucha mucha profundidad y queremos hacer un cálculo exacto deberemos tener en cuenta que r 
es ligeramente dependiente de h porque la densidad varía por ligera compresión (es mucho 
el peso de la masa de agua sobre ella).

* Esta fórmula es válida para líquidos en general, pero no para gases ni para líquidos 
fácilmente compresibles.

Bien, ahora pensemos con física newtoniana básica. La presión en un líquido tiene casi la 
misma interpretación que la presión clásica: fuerza por unidad de superficie que ejercería 
sobre una superficie que estuviera en contacto con él. La única diferencia estriba en que 
si no hay superficie que se interponga, el fluido no deja de tener presión; pero 
probablemente se expandirá, disminuyendo su presión hasta que se encuentre con una 
superficie o se quede en una situación de presión, temperatura y volumen estables como 
ocurre si lo confina un campo gravitatorio, como es el caso del aire de la atmósfera 
terrestre.

Bueno, pues sabemos que el líquido ejerce una presión en todas direcciones que es 
dependiente de la profundidad (cuanto más profundo, más presión, aumentando linealmente 
con coeficiente r*g). Si sumergimos* un cubo de lado L de forma perpendicular al suelo a 
una profundidad P, su cara superior estará sometida a una presión p1 = p0 + r*g*P, 
mientras que su cara inferior estará sometida a una presión p2 = p0 + r*g*(P+L) . Eso 
quiere decir que la cara superior está sometida a una fuerza F1 = p1*S1 = p1*L^2 mientras 
que la cara inferior está sometida a una fuerza F2 = p2*S2 = p1*L^2 . Como F2 es mayor que 
F1, la suma de las fuerzas da como resultado una fuerza con módulo F2-F1 y el sentido de 
F2. Hemos de notar que F1 es una fuerza hacia abajo, sumada a la gravedad mientras que F2 
es una fuerza hacia arriba, opuesta a la gravedad. ¿Por qué? Porque la presión del fluido 
es siempre perpendicular a las superficies y actúa contra ellas, porque suponemos 
fluidostática y además el fluido tiende a llenar todo el espacio disponible. Pues bien, en 
este caso el empuje del líquido es Ft = F2-F1 = L^2*(p2-p1) = L^2 * r*g*L = L^3 *r*g = Vc 
* r * g (Vc, volumen del cubo).

*Tomaremos en este desarrollo "sumergir a profundidad P" como "situar el punto más alto 
del objeto a profundidad P".

¿Flotaría o se hundiría? Pues bien, no hay más que comparar la fuerza de empuje o 
sustentación con la fuerza gravitatoria, que será Fp = m*g, donde m es la masa del cubo. 
Para que flote tiene que ocurrir Ft >= Fp, o sea, Vc*r*g >= mg --> m / Vc <= r . La masa 
del cubo partida por su volumen tiene que ser menor que la densidad del agua. Esto es, la 
densidad del cubo tiene que ser menor que la del fluido en el que se sumerge. Este 
principio sigue siendo válido si se usan integrales para cuerpos de superficies 
arbitrarias en lugar de un simple cubo. Nótese que hemos derivado esto a partir de la 
ecuación fundamental de la hidrostática, y por tanto hemos de restringirnos a las 
suposiciones de la hidrostática más las suposiciones que hemos hecho por el camino, si 
queremos utilizarlo.

¿Cómo podríamos mejorar la sustentación del cubo? Hemos visto que la sustentación viene de 
la resta de dos fuerzas, la de la presión del agua en la cara superior y la de la presión 
del agua en la cara inferior. Como la presión inferior es mayor debido a la influencia del 
campo gravitatorio, hay empuje ascendente. Pero la fuerza de presión no depende únicamente 
de la presión ejercida. ¡También depende de la superficie sobre la que se ejerza! 
Entonces, si la superficie superior es menor que la inferior, la diferencia entre las 
fuerzas se incrementará y el empuje ascendente será mayor. Imaginemos por ejemplo una 
superficie cuadrada de lado 1 (la superior), que está unida mediante planos prácticamente 
perpendiculares al suelo a otra superficie cuadrada de lado 10 (la inferior). Para que los 
planos laterales que cierran el "prisma" (en realidad es una pirámide cuadrada truncada) 
sean prácticamente perpendiculares hay que darles una longitud grande, pongamos que fuera 
20. Entonces ese cuerpo, sumergido a profundidad P, sufriría un empuje ascendente de Ft = 
F2-F1 = 10^2*(p0+r*g*(P+20)) - 1^2(p0+r*g*P) = 99p0 + 99rgP + 2000rg, que es mayor que si 
se tomara la superficie superior de lado 10 (igual que la inferior) y se mantuviera todo 
lo demás: en ese caso, la fuerza total sería Ft2 = 2000rg; la diferencia de empujes es 
Ft - Ft2 = 99p0 + 99rgP, que contiene un término dependiente de la profundidad. Cuanto más 
profundo esté este "prisma", más sobreempuje tenderá a tener respecto a si tuviera iguales 
las dos caras. Es decir, su resistencia a ser sumergido depende de la profundidad

¿Qué pasa si el cuerpo está medio sumergido? Que su cara superior no tiene masa de agua 
por encima, por tanto la fuerza de presión ejercida sobre su cara superior sólo depende de 
la masa de aire sobre ella, que tiene una presión p0 (la atmosférica). Ft = F2-F1 = F2 - 
S1*r*g*p0.

¿Qué pasa si el cuerpo está en contacto total con el fondo? Que su cara inferior no tiene 
masa de agua por debajo, así que no hay fuerza de presión ejercida sobre su cara inferior 
y Ft = F2 - F1 = 0 - F1 = -F1. Nos sale una fuerza de sustentación negativa, lo que quiere 
decir que sólo hay una fuerza que ayuda a la gravedad (el peso de la columna de agua sobre 
el cuerpo).

El caso de la isla: imagínese como un cono hueco, está la superficie lateral pero no están 
ni la tapa superior ni la inferior. Las fuerzas de presión que ayudan a la gravedad se dan 
en la parte de fuera del "volcán", mientras que las que van en contra de la gravedad se 
dan en la parte de dentro. El ángulo de incidencia es el mismo y la cantidad de superficie 
sobre la que se aplican también, así que se cancelarán sus efectos, EXCEPTO el de la 
diferencia de profundidad, que es muy poca y depende del grosor del material que compone 
la superficie lateral del cono. Salvo que me esté equivocando en algo, este objeto se 
hundiría debido a la gravedad, salvo que el grosor sea tal que haya suficiente 
sustentación por diferencia de profundidad y la masa no aumente tanto como para evitarlo.

Por último, ¿existiría algún objeto que pudiera llegar a salir disparado hacia arriba? En 
general, la fuerza del empuje no puede sino disminuir conforme el objeto sube y cuando 
llegara a la superficie, si diera un pequeño saltito se encontraría a presión atmosférica 
en todos los puntos (incluso por debajo) y dejaría de haber fuerza de empuje. Pero si en 
el agua la fuerza de empuje ha sido la suficiente como para vencer con creces la gravedad 
durante un rato, podría ocurrir que saltara bastante en el aire el objeto.
Y ya hilando más fino: si el objeto no es sólo un flotador acuático, sino que es también 
un flotador aéreo, entonces sí: ten en cuenta que la sustentación sigue valiendo en el 
aire y la presión es variable con la altura (aunque no con la fórmula de la presión 
hidrostática porque el aire se comprime y la densidad varía con la altura), existen 
fuerzas de empuje debido a que a nivel de tierra hay más presión que más arriba (por el 
peso de la columna de aire), por lo que si el objeto es tal que la fuerza sustentadora del 
aire es mayor que la gravitatoria, echará a volar hasta que llegue a un punto en el que la 
presión atmosférica haga disminuir la fuerza sustentadora hasta hacerse igual a la 
gravitatoria. Si introduces uno de esos objetos en el mar, saldrá disparado hacia arriba 
por la fuerza sustentadora hidrostática, saltará la superficie del mar y entrará en acción 
la fuerza sustentadora aerostática y flotará hasta determinado punto en la atmósfera. Otro 
asunto es que para sumergir el objeto hay que hacer una fuerza tal que sumada a la 
gravedad venza la fuerza sustentadora hidrostática, y eso puede ser más o menos 
complicado. Por ejemplo, si intentas hundir un globo de helio, si no haces fuerza por 
igual en toda la superficie, rápidamente se crea un giro que impide que se hunda, debido 
al par de fuerzas mano-sustentación.

Uf. Pues yo creo que así debe quedar todo bastante claro.

Un saludo y espero que os haya resultado instructivo (si no conocíais la materia) o que no 
encontréis demasiados fallos (si sí conocíais la materia).

Jose Brox