Re: ***[escepticos] RMN y energia nuclear

[Eloy Anguiano <Eloy.Anguiano@...>]

"Xan M. Caínzos Prieto" wrote:
> 
> Josep Català dixit:
> P.D. Aviso para Xan: yo de ti aprovecharia la cita a la
> transformación de Fourier para dar un palo matemático a toda la
> corrala. Elisenda puede colaborar contigo.....
> 
> Mis conocimiemtos de la transformada de Fourier solo llegan para
> criticarte por  decir "transformación de Fourier". 


Todo el mundo sabe que Fourier sufrio una transformacion al conocer al
niño Champolion ;-)


> Por lo demas, poco
> puedo decir ya que no la usado nunca y los unicos conocimientos que
> tengo de ella es a nivel docente y para alumnos de primer ciclo. Como
> comprenderas que os cuente que la transformada de Fourier es una
> isometria de $L^2(\Omega)$ en $L^2(\Omega)$ no sirve para nada. La
> persona mas indicada es Eloy que la usa dia si, dia no. A la espera
> de su informacion os dejo tranquilos y, espero, aliviados.
>     Saludos
> 
> PD para Eloy: Tienes la oportunidad de enviar un mensaje como el de
> Catala sobre la RMN, si quieres hacer algo util y divulgativo en vez
> de perder el tiempo con ***, BIO y similares. ¡¡¡ANIMO!!!

Sobre la transformada de Fourier?

Creo que hay poco que decir. Veamos si os sirve para algo lo que voy a
contar.
Voy a dejar tambien a un lado la precision en favor de la comprension
(espero).


La transformada de Fourier tiene un sentido matematico estricto que es
el que ha comentado Xan pero creo que es mas importante entender
fisicamente el concepto de transformada de Fourier. Para ello es
necesario imaginarse una señal infinita en el tiempo. La transformada de
Fourier lo que hace es encontrar las amplitudes de las ondas planas de
distintas frecuencias que *sumadas* dan la señal original.

Imaginemos una señal sinusoidal pura. La trasnformada de Fourier de esa
señal sera de tal forma que la amplitud de todas las frecuencias sera
cero salvo la de la frecuencia exacta de la onda sinusoidal en la que
tendra un valor igual a la amplitud de la señal.

De esta forma, señales complejas pueden descomponerse en sus distintas
componentes como ondas sinusoidales.

Otro tipo de transformadas (ondelettes) hacen lo mismo pero cambiando
las funciones sinusoidales por otro conjunto de funciones.

Asi vista, la cosa es bastante sencilla y como se puede comprender
bastante util. Sin embargo los problemas llegan, como siempre a la hora
de aplicarlo a la realidad. En la realidad lo que se tiene es el
muestreo de una señal. Este muestreo (medida) es discreto y limitado.
Para estas señales se desarrollo un algoitmo que calculaba la
trasnformada de Fourier discreta para la señal. Para ello suponia una
condicion de contorno de tal forma que f(x)=f(N+x) (donde N es el numero
de puntos de muestreo). Aplicando esta condicion de contorno se obtiene
una señal infinita. Hasta ahi todo correcto. Ahora bien. Imaginemos una
señal que aumenta con el tiempo mientras se mide. Entonces la señal es
algo asi como:



                 +++
               ++
              +
--------+++--+--------
      ++   ++
     +  
 ++++
+

Con la condicion de contorno anterior es como si tuviesemos una señal
como:




                 +++                   +++                   +++     
               ++                    ++                    ++      
              +                     +                     +       
--------+++--+----------------+++--+----------------+++--+--------
      ++   ++               ++   ++               ++   ++         
     +                     +                     +                
 ++++                  ++++                  ++++                 
+                     +                     +                     


Como se puede ver en los puntos en los que se pega la señal einventada
hay unos cambios muy bruscos. En general, los cambios bruscos añaden
amplitud a las componentes de Fourier a muchas frecuencias. Estas
señales *espureas* producen problemas cuando se van a realizar filtros
sobre la trasformada de Fourier (u otro tipo de operaciones). Estos
filtros sirven para dejar pasar solo las bajas frecuencias, eliminar
ruidos o cualquier otro tipo de operacion que tenga sentido en el
"espacio de frecuencias".

Una forma de eliminar este tipo de problemas (y esto es de mi cosecha)
es aplicar una condicion de contorno distinta (al fin y al cabo la
condicion de contorno es algo que nos inventamos). Esta condicion de
contorno es que f(x)=f(2N-x) de esta forma la señal es de la forma:


                 ++++++                                
++++++                                 +++
               ++      ++                             ++     
++                             ++   
              +          +                           +         
+                           +     
--------+++--+------------+--++----------------+++--+------------+--++----------------+++--+------
      ++   ++              ++  ++            ++   ++              ++ 
++            ++   ++       
     +                           +          +                          
+       +                 
 ++++                             ++++  ++++                            
++++  ++++               
+                                    
++                                     ++                   


Que no tiene los problemas descritos anteriormente.


Tal y como he contado todo las señales son señales temporales, es decir
que varian con el tiempo y por tanto la trasnformada es en la variable
tiempo y las frecuencias son eso, frecuencias.
Se puede hacer lo mismo con señales en el espacio y las frecuencias son
entonces los vectores de onda (k) ademas pueden tener varias dimensiones
espaciales y una temporal pudiendo obtenerse transformadas de la señal
en una o varias coordenadas al mismo tiempo.


Si quereis saber algo mas sobre la TF. Decidmelo y se veis algo
garrafalmente mal tambien (esto va para Almudena y Xan sobre todo).